Центром описанной вокруг треугольника окружности является точка пересечения срединных перпендикуляров. Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис.
В равностороннем треугольнике эти точки совпадают. А так как высоты ( срединные перпендикуляры) такого треугольника в то же время и его биссектрисы и медианы, а медианы треугольника точкой пересечения делятся в отошении 2:1, то и радиусы данных окружностей имеют такое же отошение.
Расстояние от точки до прямой измеряется перпендикуляром.
Расстояния от М до сторон треугольника - равные по длине наклонные. Следовательно, их проекции на плоскость треугольника также равны, и равны они радиусу вписанной в этот треугольник окружности..
Пусть данный треугольник будет АВС с прямым углом С.
Тогда все отрезки из М, перпендикулярные его сторонам, равны МН=5 см, а <u>основание перпендикуляра МО из М к плоскости треугольника - центр вписанной окружности.</u>
Радиус вписанной окружности найдем по формуле:
<em>r=(a+b-c):2,</em>
где а и b- катеты, с - гипотенуза.
Гипотенузу АВ найдем по т.Пифагора, и равна она 15 см (вычислить сможет каждый, хотя можно устно найти, т.к. треугольник АВС имеет отношение катетов 3:4, и он - египетский)
r=(12+9-15)^2=3 cм
Треугольник МОН - египетский, и
<em> МО=4 см</em>
( можно проверить по т.Пифагора)
Tg углаАОВ=5/1=5 (отношение противолежащего катета,к прилежащему.(надо опустить перпендикулярна на ОА из точки В)
Пусть дана трапеция ABCD, с высотами BH и CO. BC=HO=6 (BCHO - прямоугольник)
BH=CO. Площадь трапеции равна полусумме оснований умноженную на высоту. Высота неизвестна.
По теореме Пифагора
169=BH^2+AH^2
225=BH^2+OD^2
AH+OD=14
AH=14-OD
Подставим в первое уравнение
169=BH^2+(14-OD)^2
169=BH^2+(196-28OD+OD^2
Из второго уравнения BH^2=225-OD^2, подставляем в первое
169=225-OD^2+196-28OD+OD^2
после приведения
-28OD+252=0
28OD=252
OD=9
Теперь находим высоту
225=BH^2+OD^2
225=BH^2+81
BH^2=144
BH=12
Находим площадь трапеции: S=((BC+AD)/2)*12=13*12=156 см2