Даны векторы а(2; 2; 6), в(-1; -2; -2) и с(0; -2; -1).
а) Находим 2с = (0; -4; -2), определяем в - 2с = (-1; 2; 0).
Проекция вектора а на направление (в - 2с) равно:
Пр ba = (a · b)/|b|
Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 2 · (-1) + 2 · 2 + 6 · 0 = -2 + 4 + 0 = 2
Найдем модуль вектора:
|b| = √(bx² + by² + bz²) = √((-1)² + 2² + 0²) = √(1 + 4 + 0) = √5
.
Пр ba = 2/√5 = 2√5/ 5 ≈ 0,894427.
б) Площадь равна векторному произведению.
Решение: S = |a × b|
Найдем векторное произведение векторов:
с = a × b =
i j k
ax ay az
bx by bz
=
i j k
2 2 6
-1 -2 -2
= i (2·(-2) - 6·(-2)) - j (2·(-2) - 6·(-1)) + k (2·(-2) - 2·(-1)) =
= i (-4 + 12) - j (-4 + 6) + k (-4 + 2) = {8; -2; -2}
Найдем модуль вектора:
|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √(8² + (-2)² + (-2)²) = √(64 + 4 + 4) = √72 = 6√2
.
Найдем площадь параллелограмма:
S = 6√2 ≈ 8.485281.
Примем длины отрезков <span>стороны BC, равными 5х и 9х, вся сторона 14х.
В треугольнике произведение высоты на сторону, куда она опущена, равно для всех высот.
12*14х = 11,2*АС.
Отсюда АС = (12*14х)/11,2 = 15х.
Из треугольника АЕС имеем:
АС = </span>√(12² + 81х²) =√(3²*4² + 3²*х²) = 3√(16+9х²).
Подставим вместо АС значение 15х.
15х = 3√(16+9х²), сократим на 3:
5х = √(16+9х²) и возведём в квадрат.
25х² = 16 + 9х²,
16х² = 16.
Отсюда имеем х = 1.
Тогда АС = 15х = 15*1 = 15 см.
.......................................................................................................