Question

Даны точки A(1;1) B(2;3) C(0;4) D(-1;2). Докажите что ABCD прямоугольник.

Answer 1

1) Докажем, что АВСД-параллелограмм, т.е. векторы АВ и ДС равны.
$\vec{AB}= \{ 2-1;3-1 \} = \{1;2 \};\ \vec{DC}=\{ 0+1;4-2 \} = \{1;2 \}$
⇒ AB = CD и AB || CD.
Значит, АВСД - параллелограмм (по признаку).
2) Докажем, что у этого параллелограмма есть прямой угол, т.е. скалярное произведение векторов АВ и ВС равно 0.
$\vec{AB}=\{ 1;2 \};\ \vec{BC}=\{ -2;1 \};\\ =\ \textgreater \ \vec{AB} \cdot \vec{BC}= 1*(-2)+2*1=-2+2=0$
Итак, у параллелограмма АВСД имеется прямой угол. Значит, АВСД - прямоугольник.