Вопрос сразу же тянет на не эксклюзивность, так как ответы будут общеизвестны, попробую:
Ахилл зарекомендовал себя тем, что был весь такой неуязвимый, кроме места, за которое его держала рука мамаши - пятку и попал в устойчивое выражение
Геракл общеизвестен всем своими неординарными поступками, которые не под силу обычным смертным и зарекомендовал себя
Дамокл, как любой правитель, при кажущемся жизненном благополучии постоянно находится в опасности из -за угроз, о которых он не задумывается, тем не менее они над ним постоянно нависают как острый меч, висящий на ненадежной подвеске и готовый обрушиться на его голову в любой момент, т.н.
Следующий герой прославился тем, что был негодяем, всех попадавших к нему в лапы меряя "под себя" - укладывал на свою кровать (ложе) и если человек не подпадал под ее размеры, соответственно либо отрубал лишнее, либо тянул до нужных размеров и кровать сия, как мера проявилась в выражении
Сизиф - отдельная песня: долгое время я говорила Сифиз, не правильно прочитав, первоначально, имя героя и по сему труд его у меня звучал, как "сифизов". Ассоциации с этм выражением - долгий, бесполезный, никчемный труд, но, трудолюбие героя - похвально.
"Сифизов труд", простите,
Ну, а Эзоп, тот человек, который придумал такую речь, которая не буквальна, но вполне "просматриваема" и понятна, этакий иносказательный язык, сказанное на котором понятно по смыслу, но на слух об этом смысле явно не заявляет.