МН - перпендикуляр к плоскости МА и МВ наклонные, МА=12, МВ=24, НА/НВ=1/7=1х/7х, НА=х, НВ=7х, треугольник МНА прямоугольный, МН в квадрате=МА в квадрате-НА в квадрате=144-х в квадрате, треугольник МНВ прямоугольный, МН в квадрате=МВ в квадрате-НВ в квадрате=576-49*х в квадрате, 144-х в квадрате=576-49*х в квадрате, 48*х в квадрате=432, х=3, НА=3, НВ=3*7=21, МН=144-9=135=3*корень15
Основа - теорема о 3х перпендикулярах. Средство получения результата - теорема косинусов
Она является одновременно медианой, биссектрисой и высотой этого треугольника.
Обозначим длину прямоугольника A (см), а его ширину - B (см). По условию его периметр равен 544 (см), т.е. 2*(A+B)=544 (см). Также по условию известно, что его стороны пропорциональны числам 5 и 12, то есть длина относится к 12 (большая сторона соотносится с большим числом) также, как и ширина относится к 5, получаем: A/12=B/5. Выразим A=(12*B)/5 и подставим в периметр: 2*((12/5)*B+B)=544→2*((17/5)*B)=544→(17/5)*B=272→B=(272*5)/17=80 (см) - ширина прямоугольника. Тогда длина A=(12*80)/5=192 (см). Диагональ найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: √(192²+80²)=√(36864+6400)=208 (см). Ответ: 208 см.
Пусть в равнобедренном треугольнике АВС с основанием AB:
АС=СВ=a, AB=b. <A=<B, SinA=SinB=1/4.
Тогда CosB=√(1-1/16)=√15/4.
По теореме косинусов из треугольника АВС имеем:
a²=a²+b²-2abCosB или 0=b²-2*16√15*b*√15/4 или
b²-120b=0. b1=0 - не удовлетворяет условию.
b=120.
Площадь треугольника АВС равна: (1/2)*a*b*sinA или
Sabc=(1/2)*16√15*120*0,25=240√15. С другой стороны
Sabc=(1/2)*a*h, где а - сторона ВС, h - высота АН, проведенная к этой стороне. Тогда
АН=2Sabc/a или АН=480√15/(16√15)=30.
Ответ: АН=30.
P.S. Заметим, что треугольник АВС - тупоугольный, так как синус угла при основании равен 0,25 => угол ≈14,5°.