Question

теорема о свойстве биссектрисы угла(доказательство)

Answer 1

Теорема - свойство биссектрисы треугольника.

Если AA1 - биссектриса внутреннего угла A треугольника ABC, то

ВА*/А*С= ВА/ АС  .

    Иными словами, биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные заключающим ее сторонам.

Доказательство.Проведем через B прямую, параллельную AC, и обозначим через D точку пересечения этой прямой с продолжением AA1 .

    Согласно свойству параллельных прямых имеем ÐBDA = ÐCAD. Так как AA1 - биссектриса, то ÐCAD = ÐDAB. Итак, ÐBDA =ÐDAB, потому BD = BA.

    Из подобия треугольников CAA1 и BDA1 (по второму признаку ÐBDA1 = ÐCAA1 , ÐBA1 D = ÐCA1A) получаем ВА*/А*С =ВD/АС  =ВА/АС  , что и требовалось доказать.

    Заметим, что можно было бы с тем же успехом провести через B прямую, параллельную биссектрисе AA1,до пересечения в точке E с продолжением CA . Тогда EA = AB и СА /АЕ =СА/АВ  .