Сначала построим линию пересечения плоскости основания и плоскости А1С1Е. Это прямая а, параллельная отрезкам АС и А1С1 (смотри рисунок).
Высоту призмы находим ао Пифагору из треугольника: высота(катет)-сторона основания(катет)-диагональ грани(гипотенуза).
Высота призмы равна √(5²-4²)=3.
Диагональ ВЕ основания равна диаметру описанной вокруг правильного шестиугольника окружности, то есть ВЕ=2*4=8. Тогда КЕ=6.
Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному прямыми РЕ и КЕ, лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линии а пересечения плоскостей. В прямоугольном треугольнике РКЕ тангенс искомого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: РК/КЕ=3/6=1/2.
Ответ: искомый угол равен arctg(0,5).
Вариант2 (координатный).
Введем систему координат X,Y,Z с началом координат в точке С.
Находим по Пифагору отрезок СК=С1Р=√(16-4)=2√3.
Получаем координаты точек: Р(0;3;2√3), К(0;0;2√3), E(6;0;2√3). Вычисляем
координаты векторов (от координат КОНЦА отнять соответствующие координаты НАЧАЛА) РE{6;-3;0} и KE{6;0;0}.
Найдем угол между векторами РЕ и КЕ по формуле
cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)]
cosα=(36+0+0)/[√(36+9+0)*√(36+0+0)]=36/18√5 = 2/√5.
Ответ: искомый угол равен arccos(2/√5).
Но если нужен ответ через тангенс, найдем его. Sinα=√(1-cos²α) = 1/√5.
Тогда tgα=Sinα/Cosα =1/2.
Ответ: искомый угол равен arctg(0,5).
Вариант3. Еще более усложним решение (по условию задающего).
Введем систему координат X,Y,Z с началом координат в точке С.
Тогда получаем координаты точек: А1(0;3;4√3), C1(0;3;0), E(6;0;2√3).
Общее уравнение плоскости имеет вид Ax+By+Cz+D=0.
Уравнение плоскости основания Х0Z имеет вид: Y=0.
Уравнение плоскости А1С1Е (она параллельна координатной оси 0Z) имеет вид: Ax+By+D=0.
Составим уравнение плоскости по трем точкам, используя формулу:
|x-0 0-0 6-0 | | x-0 0 6 |
|y-3 3-3 0-3 | = 0. Или | y-3 0 -3 | = 0.
|z-4√3 0-4√3 2√3-4√3 | | z-4√3 -4√3 -2√3 |
Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:
| 0 -3 | | 0 6 | | 0 6 |
(x-0)* |-4√3 -2√3| - (y-3)* |-4√3 -2√3 | + (z-4√3)*| 0 -3 | =0.
Отсюда 12√3*(x-0)-24√3*(y-3)+0*(z-4√3)=0. 12√3*x-24√3*y+72√3=0 или x-2y+6=0.
Это и есть уравнение плоскости А1С1Е.
Если плоскость задана общим уравнением x-2y+6=0, то вектор n1{1;-2;0} является вектором нормали данной плоскости.
Вектором нормали плоскости основания является вектор n2{0;1;0}.
Угол между плоскостями можно найти через угол между нормальными векторами данных плоскостей.
cosα=(0-2+0)/[√(1+4+0)*√(0+1+0)] или cosα=-2/√5.
Получили ТУПОЙ угол, но поскольку плоскости при пересечении образуют две пары вертикальных углов, за угол между плоскостями обычно принимают острый угол, поэтому принимаем cosα=2/√5 (так как
cos(180-α)=-cosα).
Ответ, как и во втором варианте:
искомый угол равен arccos(2/√5) или arctg(0,5).
По теореме синусов, стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
НО! Нам нужен хотя бы 1 угол, если треугольник не прямоугольный.
a/sin(α) = b/sin(β) = с/sin(γ)
По теореме косинусов мы можем поэтапно найти каждый угол.
a² = b² + c² - 2ac*cos(α) итд
Теорема Фалеса связана с отрезками, образующимися в результате пересечения параллельных прямых секущими.
Теорема Герона — нахождение площади по периметру и сторонам.
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
Ответ: б.
чё к чему...
трапеция=четырехугольник, сумма его углов=360градусов
100+40=140
360-140=220
и два оставшихся угла могут быть любыми(!), но их сумма должна быть равна 220 градусов
