Приклад 1. Знайти кут між векторами a = {3; 4} і b = {4; 3}.
Розв'язок: Знайдемо скалярний добуток векторів:
a·b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.
Знайдемо модулі векторів:
|a| = √<span>32 + 42</span> = √9 + 16 = √25 = 5
|b| = √<span>42 + 32</span> = √16 + 9 = √25 = 5
Знайдемо кут між векторами:
<span><span><span>cos α = </span><span>a · b</span>
=
24
=
24
= 0.96
</span><span><span>|a| · |b|</span>
5 · 5
25
</span></span>
Приклад 2. Знайти кут між векторами a = {7; 1} і b = {5; 5}.
Розв'язок: Знайдемо скалярний добуток векторів:
a·b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.
Знайдемо модулі векторів:
|a| = √<span>72 + 12</span> = √49 + 1 = √50 = 5√2
|b| = √<span>52 + 52</span> = √25 + 25 = √50 = 5√2
Знайдемо кут між векторами:
<span><span><span>cos α = </span><span>a · b</span>
=
40
=
40
=
4
= 0.8
</span><span><span>|a| · |b|</span><span>5√2 · 5√2</span>
50
5
</span></span>
Приклади обрахунку кута між векторами для просторових задач
Приклад 3. Знайти кут між векторами a = {3; 4; 0} і b = {4; 4; 2}.
Розв'язок: Знайдемо скалярний добуток векторів:
a·b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.
Знайдемо модулі векторів:
|a| = √<span>32 + 42 + 02</span> = √9 + 16 = √25 = 5
|b| = √<span>42 + 42 + 22</span> = √16 + 16 + 4 = √36 = 6
Знайдемо кут між векторами:
<span><span><span>cos α = </span><span>a · b</span>
=
28
=
14
</span><span><span>|a| · |b|</span>
5 · 6
15
</span></span>
Приклад 4. Знайти кут між векторами a = {1; 0; 3} і b = {5; 5; 0}.
Розв'язок: Знайдемо скалярний добуток векторів:
a·b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.
Знайдемо модулі векторів:
|a| = √<span>12 + 02 + 32</span> = √1 + 9 = √10
|b| = √<span>52 + 52 + 02</span> = √25 + 25 = √50 = 5√2
Знайдемо кут між векторами:
<span><span><span>cos α = </span><span>a · b</span>
=
5
=
1
=
<span>√5</span><span> = 0.1√5</span></span><span><span>|a| · |b|</span><span>√10 · 5√2</span><span>2√5</span>
10</span></span>