1. Треугольники ABD и CDB равны (противоположные стороны прямоугольника равны, BD - общая сторона указанных треугольников, поэтому эти треугольники равны по трём сторонам). Если эти треугольники равны, то равны и их площади. Поэтому площадь треугольника ABD равна половине площади прямоугольника.
S(ABD) = (1/2)*S(ABCD) = (1/2)*12 см^2 = 6 см^2. Далее, если в треугольнике ABD провести из вершины А высоту AH к стороне BD, то увидим, что AH является одной из высот треугольника AOB и также AH является одной из высот треугольника AOD. По известной формуле планиметрии площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, поэтому S(AOB) = (1/2)*AH*OB и
S(AOD) = (1/2)*AH*OD. По свойству параллелограмма (прямоугольник - это частный случай параллелограмма), его диагонали точкой пересечения делятся пополам (докажите сами или посмотрите в учебнике доказательство), поэтому OB = OD, поэтому, глядя на формулы для площадей треугольников AOB и AOD, видим, что правые части формул равны, значит равны и левые части, то есть S(AOB)=S(AOD), поэтому S(AOB) = половине площади треугольника ABD,
S(AOB) = (1/2)*S(ABD) = (1/2)*6 см^2 = 3 см^2.
2. По условию, AC лежит в плоскости α. Рассмотрим ΔABC. По условию выходит, что MK является средней линией ΔABC. Из планиметрии известно, что средняя линия Δ параллельна основанию этого Δ, то есть
MK║AC. Поскольку т. B не лежит в плоскости α, то и вся прямая AB не лежит в плоскости α, а значит т. А - это единственная из точек прямой AB, которая принадлежит плоскости α. (Если была еще одна другая точка прямой AB, которая лежала бы в пл. α, то по аксиоме стереометрии вся прямая AB лежала бы в пл.α (т. е. все точки прямой АВ лежали бы в α). Но это не так, поскольку по условию существует такая точка прямой AB (точка B), которая не лежит в пл. α. Поэтому точка М (точка прямой АВ) не лежит в пл.α. Поэтому же и прямая MK не лежит в плоскости α (поскольку точка М этой прямой не лежит в плоскости α).
Теперь, по признаку параллельности прямой и плоскости (это известная теорема стереометрии), т.к. MK не лежит в пл.α и MK ║ AC, AC принадлежит пл.α, то по этой теореме MK║α.
1. a=3cm b=1,6cm P=2(a+b);P=9,2 cm;S=ab; S=4,8 cm^2
2. a=1,3 cm; S=a^2; S= 1,69 cm^2 ; P=4a; P= 5,2 cm.
3. a= 4,2 cm; h=5 cm; S= 1/2ah; S=10,5 cm^2
Формулы:
P=2(a+b) - периметр прямоугольника
S=ab - площадь прямоугольника
P=4a - периметр квадрата
S=a^2 - площадь квадрата
S=1/2ah - площадь треугольника
Треугольник ABD тоже равнобедренный, AD = BD =12;
(то есть у треугольника ABD известны все три стороны AB = 18;)
С ходу в голову приходит воспользоваться теоремой косинусов, и тем, что углы ADB и CDB - дополнительные. Если (для максимальной краткости записи) обозначить 2*cos(Ф) = z; где Ф - это угол CDB; и DC = x; то
12^2 + 12^2 + 12*12*z = 18^2;
12^2 + x^2 - 12*x*z = 18^2;
откуда конечно можно найти x = DC;
дальше техника. Вместо того, чтобы находить из первого уравнения z и подставлять во второе, можно заметить, что
x^2 - 12*x*z = 12^2 + 12*12*z;
или
x^2 - 12^2 = 12*(x + 12)*z;
12*z = x - 12; если это подставить в первое уравнение, получится
12^2 + 12^2 + 12*(x - 12) = 18^2 = 12*27;
12 + 12 + x - 12 = 27;
x = 15;
Все это хорошо, но есть совсем элементарное решение.
Очевидно, что треугольники ABD и ABC подобны - это равнобедренные треугольники с одинаковыми углами при основаниях.
Треугольник ABD подобен треугольнику (2,2,3) с коэффициентом 6, то есть (12,12,18); а треугольник ABC имеет боковую сторону 18, то есть коэффицент подобия 9 с тем же треугольником (2,2,3) то есть его основание AC = 27; откуда DC = 15;
