Question

На бісектрисі рівнобедреного трикутника, проведеній з вершини, протилежної основі, вибрано точку. Ця точка рівновіддалена від кінців бічної сторони. Відстань від цієї точки до бічної сторони дорівнює 15 см, а до її кінця - 25 см. Обчисліть периметр трикутника. ​

Answer 1

По условию BF = FC = 25 см и FE = 15 см. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника FEC

$CE=\sqrt{FC^2-FE^2}=\sqrt{25^2-15^2}=20$ см

FE - высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника BFC, следовательно, BE = CE = 20 см, тогда BC = 2BE = 40 см.

Поскольку BD - биссектриса равнобедренного треугольника ABC, то $\angle ABD=\angle DBC$ и также BD - высота и медиана. Треугольники FEB и BDC подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует, что $\dfrac{CD}{FE}=\dfrac{BC}{BF}$

$CD=\dfrac{BC\cdot FE}{BF}=\dfrac{40\cdot 15}{25}=24$ см

AC = 2 * CD = 2 * 24 = 48 см.

$P_{ABC}=AB+BC+AC=40+40+48=128$ см.

Ответ: 128 см.