Пусть <em>A</em> и <em>B</em> — вершины квадрата <em>ABCD</em>, лежащие на окружности радиуса <em>R</em> и центром <em>O</em>, <em>D</em> и <em>C</em> — на касательной, проведённой к окружности в точке <em>K</em>, <em>M</em> — точка пересечения окружности со стороной <em>AD</em>. Поскольку <em>BAM</em> = 90o, то <em>MB</em> — диаметр окружности, а т.к. <em>OK</em> — средняя линия трапеции <em>MDCB</em>, то = <em>OK</em>.
Обозначим через <em>x</em> сторону квадрата. Из уравнения = <em>R</em> находим, что <em>MD</em> = 2<em>R</em> - <em>x</em>. Тогда
<em>AM</em> = <em>x</em> - (2<em>R</em> - <em>x</em>) = 2<em>x</em> - 2<em>R</em>.
По тереме Пифагора
<em>AB</em>2 + <em>AM</em>2 = <em>BM</em>2, или <em>x</em>2 + (2<em>x</em> - 2<em>R</em>)2 = 4<em>R</em>2.
Из этого уравнения находим, что <em>x</em> = . Следовательно, диагональ квадрата равна .
Если в<span>се боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одним углом, то их высоты проецируются на основание в радиусы r вписанной в основание окружности.
Высота основания h = </span>√(15² - 12²) = √(225 - 144) = √81 = 9 см.
<span>Площадь основания So = (1/2)*24*9 = 108 см</span>².<span>
Периметр основания Р = 2*15+24 = 54 см.
Полупериметр р = 54/2 = 27 см.
Тогда r = S/p = 108/27 = 4 см.
Апофема А = </span>√(r² + H²) = √(4² + 2²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5 см.<span>
</span>
