В русском языке существуют оба слова: зачем и за чем. Это омофоны ( греч.омос - одинаковый, фон-звук) - разные слова, совпадающие по звучанию, но различающиеся по написанию.
Их различаем в конкретном контексте. Рассмотрим следующие языковые ситуации:
Мама, за чем нужно сходить в кладовку?
Слово "за чем" является падежной формой местоимения "что". Это предложение можно перефразировать:
Мама, что нужно принести из кладовки ?
Местоимение "за чем" с предлогом пишется раздельно.
А вот другой контекст:
Я не знаю, зачем она так поступила.
Местоименное относительное наречие "зачем" синонимично слову "почему". В предложении оно выполняет роль союзного слова.
Слово "зачем" может быть и вопросительным местоименным наречием:
Зачем ты меня так пугаешь?
Зачем = почему, с какой целью.
Наречие в любом случае пишется слитно.