По правилам русского языка оба варианта написания являются верными. Действительно, можно писать как слитно, так и раздельно, а зависит это от той структуры предложения и от того контекста, в котором употребляются прилагательные ненадлежащее / надлежащее. Разберем в каких случаях написание данных прилагательных будет слитным, а в каких раздельным.
"Ненадлежащее" в значениях "плохое, отвратительное, безобразное, не соответствующее нормам поведения (и прочим нормам)" и т.д. пишется слитно, например:
Ненадлежащее исполнение обязанностей привело к трагедии.
Если же речь в предложении, напротив, о чем-то надлежащем, а кроме того имеет место быть противопоставление, например:
Не надлежащее, а, безответственное отношение к делу, привело к провалу экспедиции.
К тому же, наличие словосочетаний, усиливающих отрицание, как то: "ничуть не, отнюдь не, совсем не, нисколько не" и пр. указывает на противопоставление и, соответственно, раздельное написание:
Прилежание отстающего ученика было отнюдь не надлежащее.