1) Найдем радиус круга, полученного в сечении плоскостью. Он вычисляется по формуле
![1600\pi=\pi*r^2](https://tex.z-dn.net/?f=1600%5Cpi%3D%5Cpi%2Ar%5E2)
Сокращаем обе части на ![\pi](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cpi)
![1600=r^2](https://tex.z-dn.net/?f=1600%3Dr%5E2)
r=40 дм.
Смотрим на рис. 1
Расстоянием от центра до плоскости будет отрезок ОМ=9 дм, перпендикулярный любой прямой на этой плоскости, в том числе и радиусу сечения r=АМ=40 дм. Рассмотрим треугольник ОМА. Он прямоугольный. Заметим, что ОА - радиус шара. По теореме Пифагора ОА - гипотенуза, остальные катеты известны.
![OA^2=OM^2+MA^2](https://tex.z-dn.net/?f=OA%5E2%3DOM%5E2%2BMA%5E2)
![OA^2=9^2+40^2](https://tex.z-dn.net/?f=OA%5E2%3D9%5E2%2B40%5E2)
![OA^2=81+1600](https://tex.z-dn.net/?f=OA%5E2%3D81%2B1600)
![OA^2=1681](https://tex.z-dn.net/?f=OA%5E2%3D1681)
OA=41 дм.
Ответ: радиус шара равен 41 дм.
2) Перепишем уравнение, выделяя полные квадраты
![x^2-2x+y^2-4y+z^2+2z-10=0](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2-2x%2By%5E2-4y%2Bz%5E2%2B2z-10%3D0)
![(x^2-2x+1)-1+(y^2-4y+4)-4+(z^2+2z+1)-1-10=0](https://tex.z-dn.net/?f=%28x%5E2-2x%2B1%29-1%2B%28y%5E2-4y%2B4%29-4%2B%28z%5E2%2B2z%2B1%29-1-10%3D0)
![(x-1)^2-1+(y-2)^2-4+(z+1)^2-1-10=0](https://tex.z-dn.net/?f=%28x-1%29%5E2-1%2B%28y-2%29%5E2-4%2B%28z%2B1%29%5E2-1-10%3D0)
![(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2-16=0](https://tex.z-dn.net/?f=%28x-1%29%5E2%2B%28y-2%29%5E2%2B%28z%2B1%29%5E2-16%3D0)
![(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=16](https://tex.z-dn.net/?f=%28x-1%29%5E2%2B%28y-2%29%5E2%2B%28z%2B1%29%5E2%3D16)
![(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=4^2](https://tex.z-dn.net/?f=%28x-1%29%5E2%2B%28y-2%29%5E2%2B%28z%2B1%29%5E2%3D4%5E2)
Так как уравнение сферы в общем виде записывается следующим образом
![(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2](https://tex.z-dn.net/?f=%28x-a%29%5E2%2B%28y-b%29%5E2%2B%28z-c%29%5E2%3DR%5E2)
где (a; b; c) - центр сферы, R - радиус сферы,
то центром данной сферы будет (1;2; -1), радиус R=4.
3) Площадь сектора вычисляется по формуле
![S=\frac{\alpha*r^2}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%5Cfrac%7B%5Calpha%2Ar%5E2%7D%7B2%7D)
В данноом случае S=1,
.
По условию требуется найти только
. Подставляем значения в формулу
![1=\frac{\alpha*\left(\frac{4}{\sqrt{\pi}}\right)^2}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=1%3D%5Cfrac%7B%5Calpha%2A%5Cleft%28%5Cfrac%7B4%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%7D%5Cright%29%5E2%7D%7B2%7D)
![2=\alpha*\left(\frac{4}{\sqrt{\pi}}\right)^2](https://tex.z-dn.net/?f=2%3D%5Calpha%2A%5Cleft%28%5Cfrac%7B4%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%7D%5Cright%29%5E2)
![2=\alpha*\frac{16}{\pi}](https://tex.z-dn.net/?f=2%3D%5Calpha%2A%5Cfrac%7B16%7D%7B%5Cpi%7D)
![2\pi=\alpha*16](https://tex.z-dn.net/?f=2%5Cpi%3D%5Calpha%2A16)
![\alpha=\frac{2\pi}{16}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Calpha%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B16%7D)
![\alpha=\frac{\pi}{8}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Calpha%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B8%7D)
А если в градусах и минутах, то
![\alpha=22^0 30'](https://tex.z-dn.net/?f=%5Calpha%3D22%5E0+30%27)
4) Рассмотрим рисунок 4. Так же как и первой задаче получаем прямоугольный теугольник ОМА. Теперь гипотенуза (радиус шара ОА) равна 15 см. Расстояние до плоскости равно ОМ=8 см. Надо по теореме Пифагора найти радиус сечения шара плоскостью альфа. В данном случаае МА.
![MA^2=OA^2-OM^2](https://tex.z-dn.net/?f=MA%5E2%3DOA%5E2-OM%5E2)
![MA^2=15^2-8^2](https://tex.z-dn.net/?f=MA%5E2%3D15%5E2-8%5E2)
![MA^2=225-64](https://tex.z-dn.net/?f=MA%5E2%3D225-64)
![MA^2=161](https://tex.z-dn.net/?f=MA%5E2%3D161)
Так как сечением будет круг, а радиусом этого круга будет МА, то площадь этого круга вычисляется по формуле
![S=\pi*MA^2](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%5Cpi%2AMA%5E2)
см
Ответ:
см
5) Рассмотрим рисунок 5. Заметим, что треугольник, образованный точками А, В и С на шаре будет прямоугольным. Докажем это.
![AC^2+CB^2=AB^2](https://tex.z-dn.net/?f=AC%5E2%2BCB%5E2%3DAB%5E2)
![16^2+12^2=20^2](https://tex.z-dn.net/?f=16%5E2%2B12%5E2%3D20%5E2)
![256+144=400](https://tex.z-dn.net/?f=256%2B144%3D400)
Выполняется тождество.
Заметим, что центр описанной окружности у прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы. То есть радиус сечения плоскости, образованной тремя точками А,В и С равен половине гипотенузы АВ, то есть 10 см. Обозначим за М - середину АВ. МВ=10 см. Рассмотрим треугольник ОМВ. Он прямоугольный, так как ОМ - перпендикулярна плоскости трех точек А, В, и С. Заметим, что ОВ=26 см по условию задачи. по теореме Пифагора найдем ОМ - расстояние от центра шара до плоскости трех точек А,В и С
![OM^2=OB^2-MB^2](https://tex.z-dn.net/?f=OM%5E2%3DOB%5E2-MB%5E2)
![OM^2=26^2-10^2](https://tex.z-dn.net/?f=OM%5E2%3D26%5E2-10%5E2)
![OM^2=676-100](https://tex.z-dn.net/?f=OM%5E2%3D676-100)
![OM^2=576](https://tex.z-dn.net/?f=OM%5E2%3D576)
OM=24 см.
Ответ: 24 см.