Длина отрезка AB равняется сумме длин AC и BC
|AB|=4,6+7,8=12,4 см
Точка D расположена от точки A на расстоянии на 4,6/2=2,3 см
точка А расположена на расстоянии от точки A на 4,6+7,8/2=8,5 см
Расстояние между точками D и F равно 8,5-2,3=6,2 см
Ответ 6,2 см
Максимальное значение AO+BO+CO принимает тогда, когда O - центр описанной окружности треугольника. То есть AO+BO+CO = 3R;
Пусть α, β, γ - углы треугольника. Поскольку точка О лежит внутри треугольника, то треугольник остроугольный. Минимальное значение периметра установим по теореме синусов: 
; При этом 
, что и требовалось
Может, все-таки, найти периметр прямоугольного треугольника...
по т.Пифагора (x+3)^2 = x^2 + 9^2
x = 12
периметр = 9+12+12+3 = 36
