Question

Сколькими способами можно разложить на множители квадратный трёхчлен

Answer 1

Если квадратный трехчлен

ax^2 + bx + c = 0

имеет два разных корня x1 и x2, то он раскладывается так:

a(x - x1)(x - x2) = 0

Для нахождения корней можно использовать теорему Виета:

{ x1 + x2 = -b/a

{ x1*x2 = c/a

А можно решить уравнение через дискриминант:

D = b^2 - 4ac > 0

x1 = (-b - V(D))/(2a); x2 = (-b + V(D))/(2a)

(Здесь V это знак квадратного корня).

Или, если b четное:

D/4 = (b/2)^2 - ac

x1 = (-b/2 - V(D/4))/a; x2 = (-b/2 + V(D/4))/a

Если квадратный трехчлен имеет один корень (точнее, два равных корня) x1 = x2, то он раскладывается так:

a(x - x1)^2 = 0

Находят корень точно также, но в этом случае D = 0.

Если же трехчлен действительных корней не имеет, то он не раскладывается на множители.

Это будет, если D < 0.

Answer 2

Сколькими способами можно разложить на множители квадратный трёхчлен его можно разложить одним способом Каждый квадратный трехчлен  ax 2 + bx+ c может быть разложен на множители первой степени следующим образом.

   Решим квадратное уравнение:

     

ax 2 + bx+ c = 0 .

 

   Если  x1 и  x2  - корни этого уравнения, то

 

ax 2 + bx+ c = a ( x –  x1 ) ( x –  x2 ) .

 

   Это можно доказать, используя либо формулы корней неприведенного квадратного уравнения, либо теорему Виета.

   ( Проверьте это, пожалуйста! ) .

 

   

   П р и м е р .  Разложить трехчлен 2x 2 – 4x – 6 на множители первой степени.

 

   Р е ш е н и е .  Во-первых, решим уравнение:  2x 2 – 4x – 6 = 0.  Его корни:

                            x1 = –1  и  x2 = 3.  Отсюда, 2x 2 – 4x – 6 = 2 ( x + 1 ) ( x – 3