Эту задачу я решал 100 лет назад, и как тогда, так и сейчас, совсем простого решения не нашел.
<span>
С разрешения уважаемого автора задачи введу свои обозначения. ΔABC, ∠ABC=120°, биссектрисы AA_1, BB_1, CC_1;
AB=c, BC=a,CA=b; </span>CA_1=m, BA_1=n, CB_1=k
Для решения нам понадобятся следующие факты (подозреваю только, что в начальной школе они не проходятся. Но может быть я отстал от жизни :-))
<span>1. Биссектриса в треугольнике делит сторону на отрезки, пропорциональные боковым сторонам. Более того, эти отрезки несложно выразить через стороны. Так, m=(ab)/(b+c); n=(ac)/(b+c);
k=(ba)/(a+c) </span>(когда-нибудь я научу Вас, как писать эти формулы не только без неприязни, но с улыбкой на устах).
2. Обратный факт: если отрезок, соединяющий вершину с какой-то точкой противоположной стороны, делит сторону на отрезки, пропорциональные боковым сторонам, то он является биссектрисой.
3. Длина биссектрисы (скажем BB_1) может быть вычислена по формуле
BB_1=(2cos (B/2)ac)/(a+c).
В частности, если угол B равен 120°, эта формула превращается в
BB_1=(ac)/(a+c).
Переходим к непосредственному решению.
AA_1 - биссектриса⇒m/n=b/c
BB_1=(ac)(a+c)
Соединим точки B_1 и A_1. докажем, что B_1A_1 - биссектриса угла BB_1C. для этого достаточно доказать, что m/n=k/BB_1.
В самом деле, k/BB_1=((ba)/(a+c))/(ac/(a+c))=b/c.
Но ведь и m/n=b/c! Значит, мы доказали, что B_1A_1 - биссектриса угла BB_1C.
Точно так же получается, что B_1C_1 - биссектриса угла BB_1A.
Осталось сослаться на то, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Итак, угол A_1B_1C_1 - прямой.
Замечание. Можно доказательство провести совсем по-другому, и намного быстрее. Но как показывает мой опыт, самостоятельно выйти на второй способ намного сложнее, чем на первый.
Итак, второй способ.
Продолжим сторону AB за вершину B; поставим где-нибудь там точку D. Угол CBD равен 180°-120°=60°⇒BC является биссектрисой угла DBB_1, то есть внешнего угла треугольника ABB_1. Эта биссектриса пересекается с BC в точке A_1⇒ биссектриса еще одного внешнего угла треугольника ABB_1 - угла BB_1C - проходит через ту же точку A_1. Вот мы и доказали требуемое.
Спасибо за то, что напомнили про те времена, когда такие задачи были мне в новинку. Надеюсь, что Вы получили удовольствие от обоих доказательств. Искренне Ваш
<span>через площади. равные треугольники имеют равные площади. пусть площадь первого S₁=0,5a₁h₁, а площадь второго S₂=0,5a₂h₂. пусть a₁=a₂ как соответственные стороны равных треугольник(+площади треугольников равны), поэтому h₁=h₂.</span>
AK/KB = 2 ; BM/MC = 1/3, CO/OK - ? ; AO/OM - ?AK/AB * BM/MC * CO/OK = 12/3 * 1/3 * CO/OK = 12/9 * CO/OK = 1CO/OK = p = 9/2BK/AK * MC/BC * AO/OM = 11/2 * 3/4 * AO/OM =13/8 * AO/OM = 1AO/OM = l = 8/3
Подробнее - на Znanija.com -
znanija.com/task/17922263#readmore
<span>Да, можно ведь в сумма их равна 140 + 40 = 180 , следовательно можно утверждать , что они являются смежными</span>
Биссектриса со стороной образует развёрнутый угол, равный 180°.
Определим заданные части этого угла: 180/(1+3) = 180/4 = 45°.
Вторая часть - 3*45 = 135°.
Значит, угол, из которого проведена биссектриса, равен 45*2 = 90°.
Заданный параллелограмм является прямоугольником.