Продолжим прямые АА7 и ВВ7 до их пересечения в точке О. Обозначим угол АОВ фи, длину ОА х, длину ОВ у. Площадь треугольника АОВ обозначим S0. Обозначим длины отрезков АА1=А1А2=...а, ВВ1=В1В2=... в.
Найдём площади получившихся треугольников по формуле через синус угла:
S(АОВ)=0,5*sin(фи)*х<wbr />*у=S0;
S(А1ОВ1)=0,5*sin(фи)<wbr />*(х+а)*(у+в)=0,5*sin(<wbr />фи)*x*y*+0,5*sin(фи)*SHY=S0;
S(А2ОВ2)=0,5*sin(фи)<wbr />*(х+2а)*(у+2в)=0,5*si<wbr />n(фи)*x*y*+0,5*sin(фи<wbr />)*(2вx*2ау*+4ав);;
....................<wbr />.......
S(А7ОВ7)=0,5*sin(фи)<wbr />*(х+7а)*(у+7в).
****************<wbr />*****
Обозначим для краткости множитель 0,5*sin(фи) буквой К.
S7=S(А7ОВ7)-S(А6ОВ6)<wbr />=К*(х+7а)*(у+7в)-К*(х<wbr />+6а)*(у+6в)=К*(вх+ау+<wbr />13ав);
S2=S(А2ОВ2)-S(А1ОВ1)<wbr />=K*((х+2а)*(у+2в))-K*SHY=K*(вх+а<wbr />у+3ав);
Отношение S7/S2=13/3. Подставляя выражения для S7и S2 получаем:
(вх+ау+13ав)/(вх+ау+<wbr />3ав)=13/3. Приводя к общему знаменателю получаем: 3вх+3ау+39ав=13вх+13<wbr />ау+39ав, т.е. 10*(вх+ау)=0. Поскольку и а и в - по определению положительные числа, это условие выполнимо только при х=0, у=0.
Отсюда следует, что точки О, А и В совпадают.
Теперь видно, что S(i)=(i^2-(i-1)^2)*а<wbr />в=(2*i-1)*ав и величины S1///S7 образуют арифметическую прогрессию: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, так что габбас прав.
Пллощадь четырёхугольника АА7В7В (точнее, треугольника ОА7В7) равна 49.
