Question

Парабола проходит через точки пересечения прямой y-x=0 с окружностью x^2+y^2+2x=0 и симметрична относительно оси Ox. Найти каноническое уравнение этой параболы

Answer 1

Найдём точки пересечения прямой y-x=0 с окружностью x²+y²+2x=0.
Из уравнения  y-x=0 находим у = х и подставляем в уравнение окружности x²+y²+2x=0.
 x²+х²+2x=0,
2х²+2х = 0,
2х(х + 1) = 0.
Получаем 2 точки: х₁ = 0 и х₂ = -1, а так как по заданию у = х, то
                             у₁ = 0 а у₂ = -1.
То есть одна точка О - начало координат, а вторая точка А(-1;-1).
А так как парабола симметрична относительно оси Ox и проходит через точку А(-1;-1) с отрицательной абсциссой, а ее осью служит ось Ox, то уравнение параболы следует искать в виде у² = -2px.
Подставляя в это уравнение координаты точки A, будем иметь:
(-1)² = -2р*(-1),   1 = 2р,   р = 1/2.
 Ветви параболы направлены в отрицательном направлении оси Ох .
Имеем у² = -2(1/2)x, или у² = -х.