y=1/3 *x³-x²+1
Производная: у=х²-2х
х²-2х=0
х(х-2)=0
х=0 или х=2 Подставляем -1, 0, 2, 3 в функцию
у(-1)=-1/3
у(0)=1
у(2)=-1/3
у(3)=1
у наимен=-1/3, у наиб=1
![1) \sqrt{x+2}=3 \\ \\ x+2=3^3 \\ \\ x+2 =27 \\ \\ x=25](https://tex.z-dn.net/?f=1%29+%5Csqrt%7Bx%2B2%7D%3D3+%5C%5C++%5C%5C+x%2B2%3D3%5E3+%5C%5C++%5C%5C+x%2B2+%3D27+%5C%5C++%5C%5C+x%3D25)
![2) 3+\sqrt{x+3}=x \\ \\ \sqrt{x+3} =x-3](https://tex.z-dn.net/?f=2%29+3%2B%5Csqrt%7Bx%2B3%7D%3Dx+%5C%5C++%5C%5C++%5Csqrt%7Bx%2B3%7D+%3Dx-3)
ОДЗ
х+3≥0
х-3≥0
x≥3
х+3=(х-3)²
x+3=x²-6x+9
х²-7x+6=0
D=7²-4*6=25
x₁=(7-5)/2=1 не подходит по ОДЗ
x₂=(7+5)/2=6
![3)5+ \sqrt{x+1}=x \\ \\ \sqrt{x+1}=x-5](https://tex.z-dn.net/?f=3%295%2B+%5Csqrt%7Bx%2B1%7D%3Dx+%5C%5C++%5C%5C++%5Csqrt%7Bx%2B1%7D%3Dx-5++)
ОДЗ
х+1≥0
х≥-1
х-5≥0
х≥5
х+1=(х-5)²
х²-10х+25=х+1
х²-11х+24=0
D=11²-4*24=25
x₁=(11-5)/2=3 не подходит по ОДЗ
x₂=(11+5)/2=8
X= - 4 - корень уравнения.
(-4)³+3·(-4)²-5·(-4)2-4=0 - верно, так как -64+48+20 -4=0 - верно
Далее делим многочлен x³+3x²-5x-4 на двучлен (х+4) " углом"
_ x³ + 3x² - 5x - 4 | x + 4
x³ +4x² x² -x - 1
-------
_ - x² - 5x - 4
- x² - 4x
-----------
_ -x - 4
-x - 4
----------
0
x³ + 3x² - 5x - 4 = ( x + 4)( x² -x + 1)
Уравнение принимает вид
( x + 4)( x² -x - 1)=0
х+4=0 или х²-х-1=0
x=-4 D=1+4=5
x=(1-√5)/2 или х=(1+√5)/2
О т в е т. х=-4; х=(1-√5).2; х=(1+√5)/2.
№7Решением неизвестного линейного уравнения является пара чисел
![( \frac{1}{6};-5 )](https://tex.z-dn.net/?f=%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%3B-5+%29)
Само линейное уравнение
![y=kx+b](https://tex.z-dn.net/?f=y%3Dkx%2Bb)
Подставим известные значения
![y=-5](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D-5)
![-5= \frac{1}{6} k+b](https://tex.z-dn.net/?f=-5%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D+k%2Bb)
Допустим что угловой коэффициент
![k=6](https://tex.z-dn.net/?f=k%3D6)
Найдём b
![-6=b](https://tex.z-dn.net/?f=-6%3Db)
Полученное уравнение будет иметь вид.
![y=6x-6](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D6x-6)
P.S. значение
k мы выбрали случайное, можно подставить другое число, тогда значение
b изменится соотвественно.
№8
Дано уравнение: ![6x-4y=13](https://tex.z-dn.net/?f=6x-4y%3D13)
.
В данной прямой существует точка
![A( \frac{1}{6} ;y)](https://tex.z-dn.net/?f=A%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D+%3By%29)
, которая является решением уравнения.
Найдём
Ординату![(y)](https://tex.z-dn.net/?f=%28y%29)
, подставив
Абсциссу![(x)](https://tex.z-dn.net/?f=%28x%29)
.
![-4y=13-6x](https://tex.z-dn.net/?f=-4y%3D13-6x)
![-4y=12](https://tex.z-dn.net/?f=-4y%3D12)
Ответ:
№9
Дано: ![y=2x](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D2x)
.
Заменим
![6x](https://tex.z-dn.net/?f=6x)
на
![y](https://tex.z-dn.net/?f=y)
, получим:
![4y=17](https://tex.z-dn.net/?f=4y%3D17)
![y=4.25](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D4.25)
Знаем что
![y=2x](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D2x)
, получим
Ответ:
№10
Карандаш - 60 копеек. = 0.6 руб
Блокнот - 130 копеек. = 1.3 руб
![0.6x+1.3y=8.9](https://tex.z-dn.net/?f=0.6x%2B1.3y%3D8.9)
![13y=89-6x](https://tex.z-dn.net/?f=13y%3D89-6x)
![y= \frac{89-6x}{13}](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D+%5Cfrac%7B89-6x%7D%7B13%7D+)
Поскольку у нас 890 копеек ушло на полную покупку, то остатка не должно быть ⇒
![x=4](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D4)
4 карандаша было куплено.
Найдём количество купленных блокнотов.
![13y=89-24](https://tex.z-dn.net/?f=13y%3D89-24)
![13y=65](https://tex.z-dn.net/?f=13y%3D65)
Ответ: было куплено 5 блокнотов.
Представим котангенс в числителе в виде
![\cot\left(\frac{13\pi}{10}\right)=\cot\left(\frac{15\pi}{10}-\frac{2\pi}{10}\right)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ccot%5Cleft%28%5Cfrac%7B13%5Cpi%7D%7B10%7D%5Cright%29%3D%5Ccot%5Cleft%28%5Cfrac%7B15%5Cpi%7D%7B10%7D-%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B10%7D%5Cright%29)
По формуле разности углов котангенсов
![\cot{(\alpha-\beta)}=\frac{\cot\alpha\cot\beta+1}{\cot\beta-\cot\alpha}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ccot%7B%28%5Calpha-%5Cbeta%29%7D%3D%5Cfrac%7B%5Ccot%5Calpha%5Ccot%5Cbeta%2B1%7D%7B%5Ccot%5Cbeta-%5Ccot%5Calpha%7D)
![\cot\left(\frac{15\pi}{10}-\frac{2\pi}{10}\right)=\frac{1+\cot\frac{15\pi}{10}\cot\frac{2\pi}{10}}{\cot\frac{15\pi}{10}-\cot\frac{2\pi}{10}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ccot%5Cleft%28%5Cfrac%7B15%5Cpi%7D%7B10%7D-%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B10%7D%5Cright%29%3D%5Cfrac%7B1%2B%5Ccot%5Cfrac%7B15%5Cpi%7D%7B10%7D%5Ccot%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B10%7D%7D%7B%5Ccot%5Cfrac%7B15%5Cpi%7D%7B10%7D-%5Ccot%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B10%7D%7D)
![\frac{1+\cot\frac{15\pi}{10}\cot\frac{2\pi}{10}}{\cot\frac{15\pi}{10}-\cot\frac{2\pi}{10}}=\frac{1+0*\cot\frac{2\pi}{10}}{0-\cot\frac{2\pi}{10}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%2B%5Ccot%5Cfrac%7B15%5Cpi%7D%7B10%7D%5Ccot%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B10%7D%7D%7B%5Ccot%5Cfrac%7B15%5Cpi%7D%7B10%7D-%5Ccot%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B10%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%2B0%2A%5Ccot%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B10%7D%7D%7B0-%5Ccot%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B10%7D%7D)
![\frac{1+0*\cot\frac{2\pi}{10}}{0-\cot\frac{2\pi}{10}}=\frac{1}{0-\cot\frac{\pi}{5}}=-\frac{1}{\cot\frac{\pi}{5}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%2B0%2A%5Ccot%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B10%7D%7D%7B0-%5Ccot%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B10%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B0-%5Ccot%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B5%7D%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccot%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B5%7D%7D)
Теперь подставим, получившееся значение в саму формулу
![-6*\left(-\frac{1}{\cot\frac{\pi}{5}}\right)*\frac{1}{\tan\frac{\pi}{5}}=6*\frac{1}{\cot\frac{\pi}{5}\tan\frac{\pi}{5}}](https://tex.z-dn.net/?f=-6%2A%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccot%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B5%7D%7D%5Cright%29%2A%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ctan%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B5%7D%7D%3D6%2A%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccot%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B5%7D%5Ctan%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B5%7D%7D)
По свойству тангенсов и котангенсов
![\tan\alpha*\cot\alpha=1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctan%5Calpha%2A%5Ccot%5Calpha%3D1)
Получаем
![6*\frac{1}{\cot\frac{\pi}{5}\tan\frac{\pi}{5}}=6](https://tex.z-dn.net/?f=6%2A%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccot%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B5%7D%5Ctan%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B5%7D%7D%3D6)
Ответ: 6