Дано неравенство
![\frac{|x|-3}{x^2-5x+6} \geq 2.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B%7Cx%7C-3%7D%7Bx%5E2-5x%2B6%7D+%5Cgeq+2.)
Знаменатель разложим на множители.
![x^{2} -5x+6=0](https://tex.z-dn.net/?f=+x%5E%7B2%7D+-5x%2B6%3D0)
,
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-5)^2-4*1*6=25-4*6=25-24=1;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√1-(-5))/(2*1)=(1-(-5))/2=(1+5)/2=6/2=3;x_2=(-√1-(-5))/(2*1)=(-1-(-5))/2=(-1+5)/2=4/2=2.
Тогда исходное выражение запишем так:
![\frac{|x|-3}{(x-3)(x-2)}\geq 2.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B%7Cx%7C-3%7D%7B%28x-3%29%28x-2%29%7D%5Cgeq+2.)
Находим ОДЗ: x ≠ 3, x ≠2.
При х меньше 2 дробь отрицательна (числитель -, знаменатель-*-=+).
Имеем третье ограничение: х > 2.
Раскроем модуль.
(х - 3)/((х - 3)(х - 2)) ≥ 2.
Так как х не равен 3, то можно сократить на (х - 3) и получим:
1/(х - 2) ≥ 2,
1 ≥ 2х - 4,
2х ≤ 5,
х ≤ 5/2.
Объединив с ОДЗ получим ответ:
2 < x ≤ 2,5.