Для того, чтобы определить, является ли данная
фигура параллелограммом, существует ряд признаков. Рассмотрим три основных
признака параллелограмма.
<span>1. </span>Если
в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник
будет являться параллелограммом.
<span>2. </span>Если
в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот
четырехугольник будет параллелограммом.
<span>3. </span>Если
в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам,
то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.
1. Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и СD параллельны.
И пусть AB=CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник
на два равных треугольника: ABD и CBD.
Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (BD -
общая сторона, AB = CD по условию, угол1 = угол2 как накрест лежащие углы при
секущей BD параллельных прямых AB и CD.), а следовательно угол3 = угол4.
А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD
секущей BD. Из этого следует что BC и AD параллельны между собой. Имеем,
что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и,
значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.
2. Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем диагональ BD. Она
разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.
Эти два треугольника буду равны между собой по трем сторонам (BD - общая
сторона, AB = CD и BC = AD по условию). Из этого можно сделать вывод, что угол1
= угол2. Отсюда следует, что AB параллельна CD. А так как AB = CD и AB
параллельна CD, то по первому признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD
будет являться параллелограммом.
3. Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем две диагонали AC и BD,
которые будут пересекаться в точке О и делятся этой точкой пополам.
Треугольники AOB и COD будут равны между собой, по первому признаку
равенства треугольников. (AO = OC, BO = OD по условию, угол AOB = угол COD как
вертикальные углы.) Следовательно, AB = CD и угол1 = угол 2. Из равенства
углов 1 и 2 имеем, что AB параллельна CD. Тогда имеем, что в четырехугольнике
ABCD стороны AB равны CD и параллельны, и по первому признаку параллелограмма четырехугольник
ABCD будет являться параллелограммом.
