Удивительно легкая задача. Центр окружности лежит на пересечении биссектрис всех внутренних углов. Диаметр, соединяющий точки касания оснований, биссектрисы от вершин до центра окружности, и радиусы, проведенные в точки касания окружностью боковых сторон делят трапецию на 8 треугольников, которые попарно равны по площади. Поэтому треугольники, составленные из биссектрис углов при верхнем и нижнем основаниях (от вершин до центра окружности) и боковыми сторонами (целиком), составляют каждый по площади половину от заданных частей трапеции (ну, тех самых, про которые сказано, что отношение их площадей равно 1/2). Значит и у них отношение площадей 1/2. Но роль высот в этих треугольниках играют радиусы, поэтому отношение боковых сторон трапеции - тоже 1/2, поскольку это основания в этих треугольниках:). Ну, а отношение ВЫСОТЫ трапеции к боковой стороне и есть синус угла при основании. Поэтому искомое отношение 1/2.
Порядок-то не спрашивали:))
Построим окружность с центром О. Т.к. Окружность -это геометрическое место точек, равноудаленных от центра, а по условию ОА=ОВ, значит точки А и В лежат на окружности, ОА и ОВ являются радиусами, АВ -хорда. Угол АОВ, образованный двумя радиусами, -центральный и равен 2(180-АСВ). Т.к. Точки О и С в разных полуплоскостях относительно АВ, то предположим, что С тоже лежит на окружности. Тогда угол АСВ является вписанным углом (вершина С-лежит на окружности, стороны СА и СВ пересекают окружность), опирающимся на дугу АВ. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит дуга АСВ равна 2(180-АСВ), тогда дуга АВ будет равна 360-2(180-АСВ)=2АСВ. Величина вписанного угла АСВ должна быть в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу АВ, проверяем угол АСВ=2АСВ/2=АСВ. Равенство верное, значит точка С тоже лежит на этой окружности, что и требовалось доказать.
Если <span>двугранные углы у основы пирамиды равны, то проекции рёбер на основу совпадают с биссектрисами углов основания.
Для треугольника эта точка и есть центр вписанной окружности в треугольник.
Это же касается и многоугольников, только правильных.</span>
Sin 45=корен из 2/2
sin 30=1/2
sin 60=корень из 3/2