Чтобы записать на компьютер аудио файл с сайта, на котором запрещено копировать музыку, аудио защищено от копирования, обычные загрузчики не подойдут.
Как один из вариантов, можно произвести манипуляции с "кэш" содержимым браузера, как уже упоминалось здесь в одном из ответов. Это скорее всего поможет, но для меня лично такие действия очень не удобны. Да и на сайте, как пишет автор вопроса, если стоит серьезная защита от копирования музыки, то при закачке через браузер велика возможность того, что "злоумышленника" вычислят и "забанят пожизненно" или привлекут к юридической ответственности.
Можно воспользоваться возможностями мощных мультимедийных комбайнов, типа JetAudio, если кто-то ими пользуется. Устанавливать такие программы только из-за возможности записывать системное аудио не имеет смысла.
Я могу посоветовать, только как один из вариантов, для таких целей использовать программу для захвата аудио с компьютера, например UV SoundRecorder.
Эта утилита предназначена для решения именно таких задач. "Весит" всего ничего, установочный пакет - 1,5 Мб. Очень простая и понятная в управлении, записывает звук с любого подключенного к компьютеру устройства и системные звуки.
Именно в случае указанном в вопросе нужно сделать следующее - подключить наушники (придется выставить почти максимальный уровень звука) зайти на сайт, включить воспроизведение нужного аудиофайла, запустить UV SoundRecorder, настроить на захват системного звука, запустить запись и запустить воспроизведение, по окончании остановить запись. Программа сохраняет аудио (по умолчанию) в формате WAV, поэтому не забудьте поставить "галочку" - конвертировать в MP3. При правильных настройках качество записи получается очень приличное.
Пользуюсь иногда этой программой, никаких проблем не замечал.