Наверное так будет наглядней.
То есть равенство имеется только во втором случае.
Универсальная тригонометрическая подстановка
t = tg(x/2), отсюда sin x = 2t/(1+t^2), cos t = (1-t^2)/(1+t^2), dx = 2dt/(1+t^2)
1) Int dx/(5cos x + 10sin x) = Int 2dt/(1+t^2):(5(1-t^2)/(1+t^2) + 20t/(1+t^2)) = Int 2dt/(1+t^2)*(1+t^2)/(-5t^2+20t+5) =
= -2/5*Int dt/(t^2-4t-1)
Дальше можно методом неопределенных коэффициентов. Для этого разложим знаменатель на множители.
t^2 - 4t - 1 = 0
D/4 = 2^2 - (-1) = 5
t1 = 2 - √5, t2 = 2 + √5
-2/5*Int dt/(t^2-4t-1) = -2/5*Int (A/(t-2+√5) + B/(t-2-√5)) dt = -2/5*Int (A(t-2-√5) + B(t-2+√5)) / ((t-2-√5)(t-2+√5)) dt =
= -2/5*Int (t(A+B) + (-2A-A√5-2B+B√5))/(t^2-4t-1) dt = -2/5*Int 1/(t^2-4t-1) dt
Коэффициенты при одинаковых членах должны быть одинаковы
{ A + B = 0
{ -2A - A√5 - 2B + B√5 = 1
Подставляем
{ B = -A
{ -2A -A√5 + 2A - A√5 = -2A√5 = 1
Получаем
{ A = - 1/(2√5) = -√5/10
{ B = -A = √5/10
Подставляем в интеграл
-2/5*Int (A/(t-2+√5) + B/(t-2-√5)) dt = -2/5*Int [-√5/(10(t-2+√5)) + √5/(10(t-2-√5))] dt = -2√5/50*Int(1/(t-2-√5) - 1/(t-2+√5)) dt =
= -2√5/50*(ln |t-2-√5| - ln |t-2+√5|) + C = -2√5/50*(ln |tg(x/2)-2-√5| - ln |tg(x/2)-2+√5|) + C
Второй делается точно также.
Сначала в выражении всегда выполняются действия в скобках, при этом внутри скобок действуют те же правила, что и для выражений вообще: сначала выполняются действия умножения и деления, потом - сложение и вычитание.
Записываете "число" 000000000,0000000000 (строго говоря это не число, а некая матрица, куда мы будем записывать число. Количество нулей может быть неограниченным как слева, так и справа от запятой).
Теперь берем заданное выражение "(5*10^-1+2*10^-3+1*10^-4)" и "разбиваем" его на отдельные члены. "5*10^-1" + "2*10^-3" + "1*10^-4". Теперь в каждом выражении смотрим значение показателя степени при десятке. В первом выражении это (-1), во втором (-3), в третьем (-4). Если показатели степени отрицательные числа, то значащие числа (5, 2, 1) записываем справа от запятой в позициях, равных модулю показателя степени. Получается так: 000000000,5021000000.
Теперь "лишние" нули спереди и сзади убираем, остается число 0,5021.
Если бы показатели степени были положительными, то значащие цифры записываем слева от запятой, в позициях на единицу больше, чем показатель степени. Например, если бы было такое выражение:
"(3*10^2+7*10^1+8*10^0+5*10^-1+2*10^-3+1*10^-4)", то получили бы такую запись, а после удаления "лишних" нулей - число 378,5021.
У умножения есть переместительное, сочетательное и распределительное свойство (которые чаше называются законами). Записываются они так (в том же порядке):
a*b = b*a (от перестановки сомножителей произведение не меняется - вообще говоря, это верно не для всех объектов, для которых определена операция "умножение". Скажем, для матриц или для элементов групп переместительное свойство не соблюдается).
a*(b*c) = (a*b) * c.
a*(b+c) = a*b + a*c.
