Даны вершины четырехугольника: A(1;5), B(3;1), C(1;-3) и D(-1;1).
Сторона АВ (модуль вектора): |АВ|=√[(3-1)²+(1-5)²] =√(4+16)=√20.
Сторона DC: |DC|=√[(1-(-1))²+(-3-1)²]=√(4+16)=√20.
Противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны
(по признаку - отношения их координат АВ{2;-4} и DC{2;-4} равны:
2/2=-4/-4=1).
Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым и имел равные суммы противоположных сторон.
Найдем стороны AD и ВС (достаточно стороны AD, так как в параллелограмме противоположные стороны равны).
|AD|= √[(-1-1))²+(1-5)²]=√(4+16)=√20.
Итак, наш четырехугольник ромб или квадрат (все стороны равны).
Следовательно, в него можно вписать окружность.
Уточним. Если в ромбе один из углов прямой, то это квадрат.
Условие перпендикулярности векторов:
векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их
скалярное произведение равно нулю: Xa*Xb + Ya*Yyb = 0 . У нас
вектор АВ{2;-4}, вектор ВС{-2;-4}. Тогда -4+16 не равно нулю. Значит
АВСD - ромб.
Диаметр вписанной окружности - отрезок, равный расстоянию между противоположными сторонами.
Найдем расстояние от вершины В(3;1) до прямой AD.
Уравнение прямой AD:
(X-Xa)/(Xd-Xa)=(Y-Ya)/(Yd-Ya) =>
(X-1)/(-2)=(Y-5)/(-4) - каноническое уравнение. Отсюда
2X-Y+3=0 - общее уравнение с коэффициентами
А=2, В=-1, С=3.
Искомое расстояние (по формуле):
d=|A*Xb+B*Yb+C|/√(A²+B²) = |6+(-1)+3|/√5 =8/√5.
Это диаметр.
Радиус R=4/√5.
Центр (О) окружности расположен на середине любой из диагоналей ромба. Например, на середине диагонали BD. Найдем этот центр:
О(1;1) (как находить координаты середины отрезка, мы уже показали).
Тогда уравнение окружности (X-Xc)²+(Y-Yc)²=R²:
(X-1)²+(Y-1)²=3,2.
Если треугольники подобные то побучается АВС = А1В1С1.
От сюда можно предположить, что меньшая сторона треугольника А1В1С1 это ВС из АВС. Получается, что треугольник А1В1С1 в 2 раза больше треугольника АВС.
А1В1 = АВ *2 = 13*2= 26
В1С1 = ВС*2 = 5*2 = 10(вот и это меньшая сторона)
А1С1 = АС*2 = 12*2 = 28
задачка для устного счета :))) угол между хордой и радиусом Ф, между радиусами 4*Ф, Ф+Ф+4*Ф = 180; Ф = 30, 4*Ф = 120,
то есть сектор - это треть круга. Значит, площадь круга 144*пи, радиус 12, длина окружности 24*пи, длина дуги 8*пи.
Площадь ромба равна S=a²sinα=4²·sin30=16·1/2=8, эту же площадь можно вычислить по другому S=Pr, где Р-периметр ромба P=4·4=16, 16r=8, r=8/16=1/2