На рисунке AB - радиус, BC - касательная, проведённая в точку касания, AC - секущая, DC - внешняя часть секущей.
AB = AD = 3 - равны как радиусы.
Т.к. касательная, проведённая в точку касания, перпендикулярная касательной, то по теореме Пифагора:
AC = √AB² + BC² = √3² + 4² = √25 = 5
DC = AC - AD = 5 - 3 = 2
Ответ: DC = 2.
Само уравнение - это теорема косинусов. <span>Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними</span>
a² = b² + c² - 2 · b · c · cosα
ΔАВС подобен ΔАNK (у них два угла равны - угол А общий, ∠С=∠К=90°).
По теореме Пифагора АК=√(5²-2,5²)=2,5√3.
АС/АК=АВ/АN, так как треугольники АВС и АNK подобны.
АВ=2*АК=2*2,5√3=5√3
АС=АВ*АК/АN=5√3*2,5√3/5=7,5
Если рассматриваемый треугольник является прямоугольным, то можно
использовать базовое определение тригонометрической функции синуса для
острых углов. По определению синусом угла называют соотношение длины
катета, лежащего напротив этого угла, к длине гипотенузы этого
треугольника. То есть, если катеты имеют длину А и В, а длина гипотенузы
равна С, то синус угла α, лежащего напротив катета А, определяйте по
формуле α=А/С, а синус угла β, лежащего напротив катета В - по формуле
β=В/С. Синус третьего угла в прямоугольном треугольнике находить нет
необходимости, так как угол, лежащий напротив гипотенузы всегда равен
90°, а его синус всегда равен единице.
2
Для нахождения синусов углов в произвольном треугольнике, как это ни странно, проще использовать не теорему синусов, а теорему косинусов. Она гласит, что возведенная в квадрат длина любой стороны равна сумме квадратов длин двух других сторон без удвоенного произведения этих длин на косинус угла между ними: А²=В²+С2-2*В*С*cos(α). Из этой теоремы можно вывести формулу для нахождения косинуса: cos(α)=(В²+С²-А²)/(2*В*С) . А поскольку сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла всегда равна единице, то можно вывести и формулу для нахождения синуса угла α: sin(α)=√(1-(cos(α))²)= √(1-(В²+С²-А²)²/(2*В*С) ²).
3
Воспользуйтесь для нахождения синуса угла двумя разными формулами расчета площади треугольника, в одной из которых задействованы только длины его сторон, а в другой - длины двух сторон и синус угла между ними. Так как результаты их будут равны, то из тождества можно выразить синус угла. Формула нахождения площади через длины сторон (формула Герона) выглядит так: S=¼*√((А+В+С) *(В+С-А) *(А+С-В) *(А+В-С)) . А вторую формулу можно написать так: S=А*В*sin(γ). Подставьте первую формулу во вторую и составьте формулу для синуса угла, лежащего напротив стороны С: sin(γ)= ¼*√((А+В+С) *(В+С-А) *(А+С-В) *(А+В-С) /(А*В)) . Синусы двух других углов можно найти по аналогичным формулам.