Question

∛(2+√5) + ∛(2-√5) обчислити

Answer 1

Пусть $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=a;~~ \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=b$. Возведя обе части равенства до куба, получаем $2+\sqrt{5}=a^3;~ 2-\sqrt{5}=b^3$ - сложив эти последние два равенства, имеем

$a^3+b^3=4\\ \\ (a+b)(a^2-ab+b^2)=4\\ \\ (a+b)^3-3ab(a+b)=4$

Подсчитав $ab=\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})\cdot (2-\sqrt{5})}=\sqrt[3]{4-5}=-1$, получаем

$(a+b)^3+3(a+b)=4$

Выполним замену $a+b=t$, получаем $t^3+3t=4$. Далее это уравнение можно решить проще простого графическим способом. Функция стоящая в левой части уравнения $f(t)=t^3+3t$ является возрастающей, как сумма двух возрастающих функций и эта функция с прямой f(t) = 4 имеет одно пересечение. Путём подбора находим корень t = 1, следовательно, a + b = 1 а это ничто иное как $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1$

Ответ: 1.

Есть и другой способ решения:

$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=\sqrt[3]{(0.5+0.5\sqrt{5})^3}+\sqrt[3]{(0.5-0.5\sqrt{5})^3}=\\ \\ \\ =0.5+0.5\sqrt{5}+0.5-0.5\sqrt{5}=1$