Question

Решите уравнение 4sin^2x-sin2x=2cos^2x

Answer 1

Sin2x=2sinx*cosx
$4 sin^{2} x-sin2x=2cos ^{2} x | : cos ^{2} x \neq 0$
$4* \frac{ sin^{2} x}{ cos^{2}x }-2* \frac{sinx*cosx}{ cos^{2}x }=2* \frac{ cos^{2} x}{ cos^{2}x}$
4tg²x-2tgx-2=0 | : 2
2*tg²x-tgx-1=0 тригонометрическое квадратное уравнение, замена переменной: tgx=t

2t²-t-1=0. t₁=-1/2, t₂=1

обратная замена:
$t_{1} =- \frac{1}{2}, tgx=- \frac{1}{2}, x=arctg(- \frac{1}{2} )+ \pi n, n$∈Z
$x=-arctg \frac{1}{2}+ \pi n, n$∈Z
$t_{1}=1, tgx=1, x=arctg1+ \pi n, n$∈Z
$x= \frac{ \pi }{4}+ \pi n, n$∈Z

ответ:
$x_{1}=-arctg \frac{1}{2}+ \pi n, x_{2}= \frac{ \pi }{4}+ \pi n, n$∈Z