Question

найти площадь равнобедренного треугольника с углом при основании 30 , если радиус вписанной в него окружности равен r

Answer 1

"Вспоминаем" подходящие формулы.

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный тр-к: 

r = b/2* √(2a-b)/(2a+b), где b - основание, а - боковая сторона.

b = 2aCosα, где b - основание, а - боковая сторона, α - угол между ними.

Площадь S=1/2*a*b*Sinα

Вставляем известные величины: r =  (2aCosα/2)*√(2a-2aCosα)/(2a+2aCosα) =

aCosα√[(1-Cosα)/(1+Cosα)]. Тогда а=r/(Cosa*√[(1-cosa)/(1+cosa)])=r/(cosa√[sin^2a/(1+cosa)^2]=r(1+cosa)/(cosa*sina).

b = 2a*Cosa

S = (1/2)*a*b*Sina=(1/2)*r(1+cosa)*2a*cosa*sina)/(cosa*sina)=r(1+cosa)*r*(1+cosa)/(cosa*slna) = r^2*(1+cosa)^2/(cosa*sina)=r^2*(1+2cosa+cos^2a)/(cosa*sina).

Sin30=1/2. Cos30=√3/2. Тогда

S=r^2*4*(4+4√3+3)/(√3*4)=r^2*(7+4√3)/√3 = 8,005*r^2 =~8r^2.

Ответ: S = 8r^2.