Question

Текстовая задача. Как вычислить ширину реки?

Расстояние между двумя пристанями, расположенными на разных берегах реки, 50 км. Между ними курсирует по кратчайшему пути катер, собственная скорость которого 32 км/ч. Скорость течения реки 5 км/ч. Разница во времени движения катера по течению и против течения составляет полчаса. Берега реки параллельны.

Answer 1

Дано:

Расстояние между пунктами А и В = 50 км

Скорость лодки U = 32 км/ч

Скорость течения u = 5 км/ч

Разница во времени τ=0,5ч

Найти расстояние между берегами, время и скорость поездок - ?

<hr />

Итак, если мы найдем X=L*sinα то решим задачу.

Построим векторную схему скоростей (рис 2):

V1 - скорость по течению, V2 - против.

Угол α так же присутствует.

Нарисуем схему скоростей отдельно, совместив их в точке D=D’=D" на одном рисунке, получим параллелограмм A"ВСD, CD=u, A"В=u, BD=U.

A’C=U , а треугольник △А’ВD=△А’CD - по стороне и углу.

Значит А’BCD - равнобедренная трапеция, А’В = u, а △ А’ВА" - равнобедренный, ВА=h - высота.

<hr />

Решение:

τ=L/V2-L/V1

τ=L((V1-V2)/(V1V2))

V1-V2=2*△V=2u*cosα

AA’=AA"=△V => AD=K, V1=K+△V, V2=K-△V

K^2=U^2-h^2=U^2-(u^2­<wbr />-△V^2)=U^2-u^2+△V^2

τ=L(2u*cosα/(K^2-△V^­<wbr />2))

τ=L(2u*cosα/(U^2-u^2­<wbr />+△V^2-△V^2))

τ=L(2u*cosα/(U^2-u^2­<wbr />)

cosα=τ(U^2-u^2)/(2uL­<wbr />)=999/1000

α~2,56°

X=2,23 км.

K~32

△V=4,995

V1~37

V2~27

t1~1.352

t2~1.852

Возможно, решается проще+_+

Answer 2

Пусть ширина реки х км, тогда путь пройденный катером вдоль реки у (параллельно берегу) можно найти по теореме Пифагора. 50*50=у*у+х*х). Время на преодоление расстояния между пристанями по течению реки равно у/(32+5) + х/32, время на обратный путь равен у/(32-5)+х/32.

По условию эта разность равна 0,5 ч.

(у/(32-5) + х/32)-(у/(32+5)+х/32­<wbr />) = 0,5 или (у/27) -(у/37) = 0,5. (10*у)/(27*37)=0,5. 10*у=499,5.

у=49,95 км. Находим х по теореме Пифагора. х = корень кв (2500-2495,0025)=2,2­<wbr />355 км или 223,55 метра. Это и есть ширина реки.

Answer 3

Нарисуем план реки с пристанями в виде прямоугольника АВСD. Пристанями являются А и С. Река течёт в направлении от А (В) к D (С). Ширина реки на плане будет представлена сторонами АВ или СD. Пусть она равна "х". Стороны АD и BC представляют расстояние между пристанями и точками на противоположном берегу. Обозначим это расстояние "у".

<hr />

Рассмотрим движение по течению (от А к С). Пусть катеру на путь по течению требуется время t часов. Если на время (условно) "выключить течение", то катер за время t проплывёт 32t км и достигнет точки С1, расположенной С1, расположенной выше пристани С по течению. А теперь выключим движитель катера и "включим" течение. Оно снесёт катер как раз в точку С. Расстояние СС1 равно 5t км. Если "разложить"движение катера на собственное (относительное) и переносное (за счёт течения), то получится прямоугольный треугольник АВС1 (катеты АВ=х, ВС1=(у-5t), и гипотенуза АС1=32t.).

<hr />

Аналогично, при движении против течения (за время t+0,5 часов) катер за счёт собственной скорости пройдёт 32*(t+0,5)=(32t +16) км. При этом он должен оказаться в точке А1, расположенной выше точки А. Теперь, чтобы он попал на пристань А течение должно снести его на 5*(t+0,5) км. Опять получился прямоугольный треугольник (катеты DC=х, DA=(у+5*(t+0,5)), и гипотенуза СА1, равная (32t +16) км.

По Пифагору получаем для первого треугольника (32t)^2=x^2+(у-5t)^2­<wbr />, для второго треугольника -[32(t+0,5)]^2=x^2+[­<wbr />у-5(t+0,5)]^2. В обоих уравнениях выразим x^2 как функцию от t и у. Подставляя вместо x^2 его выражение через расстояние между пристанями, получаем два уравнения, содержащие t и y. Выражая у через t, получаем кубическое уравнение:

19980t^3+14985t^2-47­<wbr />502,5t-12500=0. Оно имеет три решения t1=-1,8515, t2=-0,25 и t3=1,35, если точнее, то t3=1,35156251907 ч. Очевидно, что годится только t3. Далее обратной подстановкой вычисляем у=49,95 км, и х=2,235 км.

Итак, ширина реки 2,235 км, время движения по течению 1,35 ч против течения 1,85 ч.

<hr />

Вот только непонятно, подход габбаса явно неправильный, так как исходное уравнение:

(у/(32-5) + х/32)-(у/(32+5)+х/32­<wbr />) = 0,5, а после преобразование вовсе у/(32-5)-(у/(32+5)=0­<wbr />,5 относится к случаю, когда катер движется только вдоль русла реки (вниз и вверх) и совершенно не участвует в движении поперёк русла. И в то же время, ширина реки вообще не влияет на решение. Тем не менее, при неправильных предпосылках получен верный результат. Моего математического (или физического) образования явно не хватает для осмысления такого парадокса.

<hr />

И ещё. При совершенно ином подходе (я так и не разобрался в его рисунках и обозначениях) Xlebywek получил тот же результат.

Answer 4

Расстояние между пристанями АВ = S является диагональю треугольника АВС, где АС = h – ширина реки, а СВ = I – проекция пути на берег. Разность времени движения катера по течению и против течения T = t₂ - t₁ обусловлена только его движением вдоль реки. Составляющая движения поперек реки ни как не влияет на это. Тогда

T = I/(V – v) – I/(V + v), где V – скорость катера, а v – течения. Откуда

I = T(V² - v²)/(2v) = 49,95 (км),

cos α = I/S = 0,999.

По теореме Пифагора определяем ширину реки:

h = √(S² - I²) ≈ 2,2355 (км).

Треугольник ADE образован векторным сложением скоростей, где V₁ - скорость катера по маршруту движения АВ. По теореме косинусов составляем квадратное уравнение относительно неизвестной V₁:

V₁² - 2(cos α)vV₁ - V² + v² = 0.

Подходящий корень V₁ ≈ 36,9942 (км/ч).

Время движения по течению и против течения:

t₁ = S/V₁ ≈ 1,3516 (ч),

t₂ = t₁ + 0,5 = 1,8516 (ч).

Answer 5

Если скорость течения реки 5 км/ч, то разность скоростей катера туда и обратно будет 10 км/ч, а если разность по времени составляет 0.5ч, то это время и нужно, чтобы катеру переплыть реку, т.е. ширина реки 5 км.

Остальные данные в задаче излишни.

Answer 6

решение:

1) сначала можем найти скорость катера по течению реки:

35 км/ч + 5 км/ч = 40 ( км/ч )

2) теперь найдем скорость катера против течения реки:

35 км/ч - 5 км/ч = 30 (км/ч)

3) посчитаем разность скоростей:

40 км/ч - 30 км/ч = 10 (км/ч)

4) разница по времени по и против течения по условию задачи равна:

30 мин, переводим в часы: 1/2 часа;

5) находим расстояние по формуле

R = S * t:

10 км/ч * 1/2 ч = 5 (км)

Ответ: ширина реки равна 5 км

Answer 7

То ли я не поняла условие задачи, то ли это задача на внимательность. В условии задачи сказано что от берега до берега 50 км. Но мы не знаем ни время, которое плывет катер, ни угол смещения его движения, поэтому ориентируясь только на скорость катера, не зная расстояния и времени вряд ли что можно найти.