Как определить, в какой мере удлинилась каждая из пружин?
В школьной лаборатории на двух однотипных пружинах подвесили металлическую пластину 123 Х 234 мм прямоугольной формы, как изображено на схеме слева. При этом одна пружина удлинилась 81, а другая на 41 мм. Затем дополнительно к пластине добавили еще точно такую же пластину, скрепив их воедино, как изображено на схеме справа. В результате суммарное удлинение пружин увеличилось в два раза. Но вопрос стоит в определении удлинения каждой из пружин от начального положения (свободного состояния).
3 ответа:
Вставная нить влияет на распределение веса пластины между пружинами за счет отклонения ее от горизонтального положения. Данных значений в условии достаточно для определения ее длины s.
Разберем решение задачи в общем виде (см. левый рис.). Обозначим ширину и длину пластины соответственно через (b) и (а), а удлинение пружин - L₁ и L₂. Длина вставной нити s слагается из разности удлинения пружин n₁ = L₁ - L₂ и h - наклона пластины
s = n₁ + h (1).
Отвесная линия, проходящая через точку крепления левой пружины к пластине, является диагональю прямоугольника, выделенного синим цветом со сторонами b и с. Следовательно, этот участок пластины полностью удерживается этой пружиной. Вес участка пластины, закрашенного зеленым цветом, распределен между двумя пружинами поровну, так как симметрично расположен относительно их. Толщина пластины равномерна, поэтому вес частей пластины пропорционален площадям окрашенных участков. Тогда растяжение пружин тоже пропорционально этим площадям
L₁/L₂ =(bc+(ba-bc)/2)/((ba<wbr />-bc)/2) .
После преобразования относительно (с) имеем
c = а(L₁ - L₂)/(L₁ + L₂)
Сократим запись формулы заменой (L₁ - L₂) = n₁ , (L₁ + L₂) = m₁
c = а*n₁/m₁ (2).
Определяем длину диагонали d синего прямоугольника
d = √(b²+с²) = √(b²+ (а*n₁/m₁)²) (3).
На основании подобия треугольников составляем пропорцию
с/d = h/а, откуда h = с*а/d (4).
Полученные величины h, с, и d вставляем в выражение (1) и преобразуем
s = n₁ + а²/√((b*m₁/n₁)² + а²) (5).
Вычисляем длину вставной нити
s = 40+ 234²/√((123*122/40)² + 234²) ≈ 183,8413 (мм).
Первую часть задачи решили.
На рисунке справа второй вариант расположения утяжеленной в два раза пластины. В принципе он ничем не отличается от первого. Если бы были известны удлинения пружин L₃ и L₄, можно было, используя формулу (5) аналогично вычислить длину вставной нити. Получили бы тот же результат - s ≈ 183,8413 (мм). Но в данном варианте по условию неизвестна величина n₂.
Запишем уравнение (5) иначе
s - n₂ - а²/√((b*m₂/n₂)² + а²) = 0 (6).
Приведя его к стандартному виду относительно неизвестной n₂, получим уравнение четвертой степени. Воспользовавшись онлайн калькулятором можно найти его корни.
Несложно вычислить значение n₂ в Excel, просто подбором походящего по точности значения, вводимого в (6). Но мне более импонирует метод последовательных приближений (итераций), в частности - метод секущих. С точностью четвертого знаки после запятой n₂ = 62 (мм). Далее составляем систему
L₃ + L₄ = 244,
L₃ - L₄ = 62.
В результате решения имеем L₃ = 153 мм, L₄ = 91 мм.
Читайте также
Не могу сказать, что я любитель давать ряд ответов на один и тот же вопрос, но почему то в последнее время так и происходит.
Размышляя несколько на другие темы, я понял как решить эту задачу на школьном уровне. То есть без геометрических построений и расчетов, а пользуясь лишь стандартными формулами. Расчет получился в общем виде, что расширяет степень его применения.
И так, у нас есть правильная n-гранная пирамида, со стороной "а" и высотой "H". А также значение толщины стенки "s" и плотности материала "p".
Впишем в пирамиду сферу радиуса Rs. Ее радиус определится следующим образом.
Где "А" и "Rv" апофема и радиус вписанной в многоугольник основания окружности.
Возникает вопрос: "А какой максимальной толщины может быть стенка пирамиды?". Очевидно не больше Rs. Поскольку при такой толщине все внутренние стенки сойдутся в одну точку и объем пустоты пирамиды станет равен нулю.
Предположим, что мы взяли стенку какой то толщины "s". При этом получились две подобных пирамиды - наружная и внутренняя. Коэффициент подобия их линейных размеров составит (Rs-s)/Rs. В таком случае их объемы будут соотносится как куб коэффициента подобия.
Теоретический расчет закончен, вернемся к условию задачи. Опять же стандартная формула расчета высоты тетраэдра. Величину стороны примем равной 1.
Такой подход, с применением компьютерных возможностей, позволяет в считанные секунды получать ответ для любой правильной пирамиды с заданной толщиной стенки и материалом. При этом можно получать все промежуточные значения расчетов.
Так при "толщине стенки" s=0.204124145232*a, пустотелый тетраэдр превратится в монолит. Интуитивно несколько неожиданное значение.
Не совсем понял вопрос. Честно говоря, математика иногда бывает абсурдной. С чисто человеческой логики, Венера ближе Меркурия. Но расчеты показывают обратное.
Не претендую на свой ответ, а лишь дополню ответ автора Vasil Stryzhak.
Меня заинтересовала игра цифр, поэтому я произвел более точный расчет для всех планет. Вычисления выполнены в градусах, с шагом в шесть минут.
В результате получилась такая табличка.
Безусловно, для строки "Земля" это теоретически, если бы какая то планета находилась на орбите Земли.
Из таблицы видно, что если радиус стремиться к нулю, среднее значение удаления будет стремиться к единице. И в тоже время, при значительном увеличении радиуса, среднее значение стремиться к радиусу. Вот такая она математика.
И напоследок, график.
Ох, уж эта единица. Она делит весь мир математики на то, что до нее и после.
