Прямоугольник ABCD; точка пересечения диагоналей O; ∠AOB=60°; AB=4,2см.
∠OAB=∠OBA=(180°-60°)÷2=60°
ΔAOB - равносторонний по трем равным углам.
AO=AB=4,2см
AC=AD=AO×2=8.4см
Ну тут весь "прикол" в том, что ∠AMB = ∠BMC = 60°; и само собой ∠AMC = 120°;
Если для краткости обозначить AB = BC = AC = a; AM = x = 2; MB = y = 10; MC = z; то теорема косинусов сразу дает
x^2 + y^2 - xy = a^2;
z^2 + y^2 - zy = a^2;
z^2 + x^2 + xz = a^2;
Пригождается второе и третье соотношения, из них получается
y^2 - zy = x^2 + xz; или y^2 - x^2 = z(x + y);
y - x = z;
Это и есть ответ, z = 10 - 2 = 8;
AB/AC = 8/15, BC = 34
P = AB + BC + AC
BC^2=AB^2 + AC^2
AB^2/AC^2 = 64/225, тогда ВС = (17/15)AB
AC = 34*15/17 = 30
AB = 16
P = 16 + 30 + 34 = 80
Весь угол С равен 11+101 = 112 градусов. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Значит угол А равен углу Д. Но углы С и Д равносторонние при параллельных прямых ВС и АД и секущей СД. Они в сумме составляют 180 градусов. Значит, угол Д=А = 180-112 = 68.
Построили на координатной плоскости четыре точки, соединили прямыми линиями и видим, что четырехугольник не только параллелограмм, а даже ромб.
Доказательство.
Стороны равны - гипотенузы треугольников с равными катетами.
Вх-Ах=6-3 = 3 и Сх-Рх= 9-6 = 3
Ву-Ау= 6-4 = 2 и Су-Ру= 4-2 = 2.
Стороны параллельны- наклон отрезков одинаков.
k1 = ΔY/ΔX = (By-Ay)/(Bx-Ax) = 2/3 - наклон отрезка ВА.
k2 = (Cy-Py)/(Cx-Px) = 2/3 - наклон отрезка СР.
Аналогично для другой пары отрезков.
Настоящий параллелограмм и настоящий ромб.
ЧТД - что и требовалось доказать.