Question

Решите пожалуйста с 2 по 6( с рисунком, очень нужно)

Answer 1

6.
 AB=BC=CD=DA =8 см ,(ABCD_ромб), ∠D =135° , AE⊥(ABCD) ,
d(E,BC) =√128 =8√2 см.
---
α= угол между плоскостями (ABCD) и  (EBC) - ?

Проведем высоту ромба : AH ⊥ BC  (точка H на продолжения CB) и соединяем точка  H с точкой  E. BC ⊥ HA  ⇒ BC ⊥ EH (теорема трех 
перпендикуляров:  EN -наклонная , AH ее проекция на плоскости  ABCD ),  т.е. ∠AHE  будет линейным углом двугранного угла ABCE:
 α =∠AHE , EH будет расстояние от точки E до прямой BC (=8√2 см).
Из ΔEAH: 
sinα  = AH/EH =ABsin(180°-135°)/EH =8sin45°/8√2 =(8√2)/2 :8√2 =1/2.
α =30° , ответ → a).
-------
5.
ABCDA₁B₁C₁D₁ куб 
---
α=угол между плоскостями (A₁C₁D) и  (ABCD) -?

Угол между плоскостями (A₁C₁D) и  (ABCD)  равно  углу между плоскостью  (A₁C₁D) и  (A₁B₁C₁D₁) ,т.к. (ABCD) || (A₁B₁C₁D₁).
Этот угол  α=∠DOD₁ , где O₁ точка пересечения диагоналей A₁C₁ и B₁D₁ основания A₁B₁C₁D₁,причем  A₁O₁ =C₁O₁ и O₁D₁ ⊥ A₁C₁.
(свойство квадрата).
Действительно с другой стороны ΔA₁C₁D - равносторонний (A₁C₁=C₁D=DA₁ - диагонали граней куба) ⇒ медиана  DO₁ является также  высотой), т.е.  DO₁⊥ A₁C₁. 
Из ΔDO₁D₁ :
tqα=DD₁/O₁D₁ =a/(a√2 /2)=√2. ⇒α =arctq√2 , ответ →Г).
-------
4.
ABCD квадрат ; AD ∈ α ; 
угол между плоскостями ABCD и α равен  β=∠( ( ABCD ) ,α) =30°.
---
γ=∠(BD ,α) -?
Проведем  прямую AE ⊥ AD в плоскости α, β=∠BAE,затем BH ⊥AE  ,  соединяем точка H с вершиной  D. BD =a√2 (a -сторона  квадрата) ; γ=∠DCH будет искомым углом.
BH =AB/2=a/2( как катет  против угла β=30°).
sinγ= BH : BD = (a/2) : (a√2) =(√2)/4⇒γ=arcsin(√2)/4 ,ответ →б).
-------
3.
Дано: равнобедренная трапеция AB=CD, BC||AD, BC=2 см ,

AD=5 см, ∠BAD =45°, α= ∠ ((ABCD) , (BCK)) =60° (угол между плоскостями (ABCD) и (BCK) равно 60°) ,BK =√3 см ,CK =1 см.
----
x=d(K ,AD) -?

По обратной теореме Пифагора заключаем ,что  ΔBKC -прямоугольный  (BK²+KC² =BC² ≡(√3)²+1² =2²) ,∠BKC=90°.Проведем
высоту КН ⊥BC и из полученной точки  Н высоту EН трапеции.

S(ΔBKC) =(1/2)*BK*CK =(1/2)*BC*KH⇒KH =√3/2 (см) .
Просто найти высоту  трапеции EН =(AD -BC)/2=3/2 (см),  т.к. ∠BAD=45°.
x² =KH² +EН² -2*KH*EН*cosα =(√3/2)²+(3/2)² -2*(√3/2)*(3/2)*(1/2)=
=(12-3√3)/4⇒x =(√(12-3√3)/)2 , ответ →в).
-------
2.
Дано ABCD ромб,AB=a, AE=AB=EK=KB ,∠BAD =30°,EK||AD,
расстояние между прямыми EK и AD: d(EK ,AD) =(7√a)/2.
---
α=( (ABCD) ,(BEK)) -?
(угол между плоскостями ромба ABCD и треугольника BEK).

Проведем BM⊥EK и BN ⊥ AD ⇒BM=a(√3)/2 ,BN=AB/2 =a/2.
α=∠MBK _ искомый угол .

По теореме косинусов из ΔMBN  :
(a(√7)/2√)² = (a(√3)/2)²+(a/2)²-2*a(√3)/2*(a/2)*cosα ⇒
cosα = (-√3)/2 ⇒ α = -150°,→ответ  г).