Если на BH, как на диаметре построить окружность, то она пройдет через точки K и M, поскольку углы BKH и BMH прямые.
Угол BHK равен углу CAB, так как BH перпендикулярно CA; HK перпендикулярно AB (стороны углов перпендикулярны).
При этом угол BHK - вписанный в построенную окружность и опирается на дугу KB. На эту же дугу опирается угол KMB. Поэтому угол KMB = угол BKH = угол CAB.
Таким образом, треугольники ABC и MBK подобны по двум углам (угол ABC у них общий).
BH = 3 - диаметр описанной вокруг MBK окружности. Диаметр описанной вокруг ABC окружности по условию равен 5*2 = 10; поэтому коэффициент подобия (отношение соответственных сторон треугольников) равно 3/10;
Отношение площадей 9/100; ясно, что площадь четырехугольника AKMC составляет 91/100 площади ABC, и искомое отношение равно 9/91;
Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах A и B пересекаются в точке O .
Тогда d(O ; AC) =d(O ; AB) = d(O ; BC) б символом d(O ; ) обозначено расстояние от точки O до прямых содержащих стороны треугольника .
Из равенства d(O; AC) = d(O ; BC) :
заключаем , что точка лежит на биссектрисе угла C(по обратной теореме о биссектрисе
угла C ; <OCB =<OCA . Точка O один из центров вневписанных окружностей .
Катет лежащийи протов угла в 30° равен половине гипотенузы
Доказательство от противного. Допустим, что прямые АВ и СD лежат в одной плоскости. Тогда точки А, В, С и D будут лежать в этой плоскости. Следовательно и прямые АС и ВD будут лежать в этой плоскости. Получаем противоречие с условием задачи. Значит прямые АВ и СD не лежат в одной плоскости. Что и требовалось доказать.
AB=
=10 (по теореме пифагора)
Так как против угла B лежит катет равный половине гипотенузы, то угол B=30⁰