1) высота L=a*корень из 3/2
корень из 3*корень из 3/2=1,5
2)5 корней из3
3) a^2*корень из 3/2
Построение. Сечение проходит через точки А и С, то есть через диагональ основания АС, перпендикулярно диагонали параллелепипеда ВD1. Следовательно, плоскость сечения содержит перпендикуляр, проведенный из точки О (пересечение диагоналей основания)к прямой ВD1 и пересекающий диагональ верхнего основания В1D1 в точке К (так как этот перпендикуляр лежит так же и в плоскости диагонального сечения ВВ1D1D. Причем плоскость Ω будет пересекать верхнее основание по прямой, параллельной прямой АС (свойство).
В сечении имеем трапецию АРМС.
Найдем по Пифагору диагональ основания ВD=√(ВА²+АD²) или
ВD=8√2. Тогда диагональ параллелепипеда ВD1=√(ВD²+DD1²) или ВD1=√(128+36)=√164=2√41. Рассмотрим прямоугольный треугольник ВDD1. Cos<DВD1=BD/BD1 или Cos<DBD1=8√2/2√41=4√(2/41). В прямоугольном треугольнике ВОН угол ОВН - это угол DBD1 и, значит, косинус угла ОВН равен Cos<DBD1=4√(2/41). Cos<ОВН=ВН/ВО, отсюда ВН=ВО*Cos<ОВН или ВН=(4√2)*4√(2/41)=32/√41.
НD1=ВD1-ВН или HD1=2√41-32/√41=50/√41. Заметим, что углы <ВD1В1 и <DBD1 равны, как накрест лежащие при параллельных прямых BD и B1D1 и секущей ВD1. Тогда Cos<ВD1В1=Cos<DBD1=4√(2/41). В прямоугольном треугольнике КНD1: Cos<HD1K=Cos<ВD1В1=4√(2/41). Тогда КD1=НD1/Cos<HD1K или КD1=50*√41/(√41*4√2)=25/(2√2).
В1К=В1D1-КD1 или В1К=8√2-25/(2√2)=7/(2√2).
КО1=В1О1-В1К или КО1=4√2-7/(2√2)=9/(2√2).
По теореме Фалеса В1К/КО1=В1М/МС1 ( так как РМ параллельна АС и, значит, параллельна А1С1.
Имеем: В1М/МС1=7/(2√2):9/(2√2) = 7/9, что и требовалось доказать.
В прямоугольном треугольнике О1КО искомый угол между плоскостями Ω и АСС1 - это угол КОО1 ( так как сечение ВВ1D1D перпендикулярно и сечению АСС1А1 и сечению Ω). Тогда Tgα=КО1/ОО1 или Tgα=9/(6*2√2)=3/(4√2)=3√2/8 ≈0,53.
Итак, искомый угол равен arctg(0,53), то есть α≈28°.
ABCDA1B1C1D1 - правильная призма, ABCD - квадрат в основании.
AC - диагональ квадрата. Треугольник ACD прямоугольный. CD=DA = 2 корня из 2.
По т.Пифагора AC = 4 см.
Треугольник AEC - равнобедренный прямоугольный (AE=EC, угол Е прямой).
Площадь равнобедренного тр-ка:
DO - перпендикуляр из точки D к диагонали AC. Значит, DO - половина диагонали BD. Диагонали квадрата равны, значит DO = AC/2 = 2 см.
Тругольник ODE прямоугольный. Угол DOE = 60 гр. Из определения котангенса
ctg(DOE) = OD/DE
DE = OD/ctg(DOE) = 2 корня из 3.
E - середина ребра DD1.
Значит DD1 = 2*DE = 4 корня из 3.
Дано АВСД- прямоугольник
АВ=8см; АД=6см; ВД=10 см.
В точке пересечения диагонали делятся пополам⇒ ВО=ОД=АО=ОС=5см
Значит Равс=8+5+5=18 см
Угол dba=38
Тогда и угол dab= 38
Т. К треугольник равнобедренный