Question

Какое из следующих чисел является корнем квадратного трехчлена x² - 4x - 1? Выберите один ответ: √5 2 - √5 5 1 + √3

Answer 1

Вариант решения № 1.  Для того чтобы проверить какое из данных чисел является корнем квадратного трехчлена необходимо подставить каждое из чисел в квадратный трехчлен. Если при этом значение этого трехчлена будет равняться нулю, то это и будет означать, что данное число - корень квадратного трехчлена.
1) (√5)² - 4·√5 - 1 = 5 - 4√5 -1 = 4 - 4√5 ≠ 0     √5 -  не корень этого трехчлена.
2) (2 - √5)² - 4·(2 - √5)  - 1 = 4 - 4√5 + 5 - 8 + 4√5  - 1 = 0     2 - √5  -  корень этого трехчлена.
3) 5² - 4 ·5 - 1 = 25 - 20 -1 = 4 ≠ 0     5  -  не корень этого трехчлена.
4) (1 + √3)² - 4·(1 + √3)  - 1 = 1 + 2√3 + 3 - 4 + 4√3 = 6√3 ≠ 0     1 + √3 -  не корень этого трехчлена.

Ответ: 2 - √5

Вариант решения № 2.
Найдем корни данного квадратного трехчлена. Для этого приравняем его к нулю и найдем дискриминант.
x² - 4x - 1 = 0
a = 1, b = -4, c = -1
D = b² - 4·a·c = (-4)² - 4·1·(-1) = 16+4 = 20
x₁ =(-b + √D) / 2a = (-(-4) + √20) / 2·1 = (4 + √20) / 2 = (4 + √4·√5) / 2 = (4 + 2·√5) / 2 =2 (2 + √5) / 2 = 2 + √5
x₂ =(-b - √D) / 2a = (-(-4) - √20) / 2·1 = (4 - √20) / 2 = (4 - √4·√5) / 2 = (4 - 2·√5) / 2 =2 (2 - √5) / 2 = 2 - √5

Получили два корня трехчлена.
x₁  = 2 + √5 ,  x₂  = 2 - √5

Ответ: 2 - √5

P.S.  х = (4 +-√20)/2   это правильный ответ, но только его нужно еще упростить, а именно, вынести двойку как общий множитель из числителя и потом сократить эту двойку с двойкой из знаменателя. Тогда получится 2 +-√5 как в вариантах ответов.