Question

Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(4;3) и отсекающей от координатного угла треугольник площадью 3 кв. единицам.

Answer 1

Рассмотрим вариант, когда прямая имеет угловой коэффициент k>0, тогда она наклонена к положительному направлению оси ОХ под острым углом. Из чертежа видно, что угол наклона не может быть тупым, т.к. тогда S треугольника будет больше 3 .

От координатного угла отсекается ΔВОК , площадь которого  S=3. Это прямоугольный треугольник, его площадь равна половине произведения катетов., то есть  $S=\frac{1}{2}\cdot ab=\frac{1}{2}\cdot OK\cdot OB=3$ .

Пусть ОК=3 ед. , а ОВ=2 ед. , тогда $S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3$ .

Точка В в этом случае будет иметь координаты В(2,0), а точка К(0,-3) .

Подставим в уравнение прямой   $y=kx+b$  координаты точки А(4,3) и , например, В(2,0), получим:

$\left \{ {{3=4k+b} \atop {0=2k+b\, |\cdot (-2)}} \right.\; \oplus \; \left \{ {{3=-b} \atop {2k=-b}} \right.\; \; \left \{ {{b=-3} \atop {k=\frac{3}{2}}} \right.\; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \underline {y=\frac{3}{2}x-3}$

Или можно использовать то, что точка пересечения с осью ОУ имеет координаты К(0,-3). Тогда уравнение прямой имеет вид:  y=kx-3 . И в это уравнение уже подставить координаты точки А(4,3) :

$3=4k-3\; \; \Rightarrow \; \; 4k=6\; \; ,\; \; k=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\; \; \Rightarrow \; \; \underline {y=\frac{3}{2}-3}$

Также можно было составить уравнение прямой, проходящей через две точки А и В ( или А и К) .

Смотри рисунок.