1.
![l_{n} = \frac{\pi R}{180} *n](https://tex.z-dn.net/?f=+l_%7Bn%7D+%3D++%5Cfrac%7B%5Cpi+R%7D%7B180%7D+%2An)
, где n - градусная мера соответственного центрального угла.
Найдем радиус окружности:
![S= \pi R^{2} =36 \pi ; \\ R= \sqrt{ \frac{S}{ \pi } } = \sqrt{ \frac{36 \pi }{ \pi } }=6](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D+%5Cpi++R%5E%7B2%7D+%3D36+%5Cpi+%3B+%5C%5C+%0AR%3D+%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7BS%7D%7B+%5Cpi+%7D+%7D+%3D+%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7B36+%5Cpi+%7D%7B+%5Cpi+%7D+%7D%3D6)
, где S - площадь круга.
Найдем длину дуги:
Ответ: ![\frac{2}{3} \pi](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D++%5Cpi+)
см.
2. Найдем сторону квадрата a:
![S= a^{2} = 48; \\ a= \sqrt{48} =4 \sqrt{3}.](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D+a%5E%7B2%7D+%3D+48%3B+%5C%5C+%0Aa%3D+%5Csqrt%7B48%7D+%3D4+%5Csqrt%7B3%7D.)
Радиус вписанной в квадрат окружности равен:
![R= \frac{a}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=R%3D+%5Cfrac%7Ba%7D%7B2%7D+)
, где a - сторона квадрата.
![R= \frac{4 \sqrt{3} }{2} =2 \sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=R%3D+%5Cfrac%7B4+%5Csqrt%7B3%7D+%7D%7B2%7D+%3D2+%5Csqrt%7B3%7D+)
Площадь вписанного треугольника равна:
![S= \frac{ c^{2} \sqrt{3} }{4}](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D+%5Cfrac%7B+c%5E%7B2%7D+%5Csqrt%7B3%7D++%7D%7B4%7D+)
, где c - сторона правильного треугольника.
Необходимо найти сторону правильного треугольника. Так как нам известен радиус описанной около треугольника окружности, то воспользуемся формулой:
![R= \frac{c}{ \sqrt{3} } ; \\ c=R* \sqrt{3} =2 \sqrt{3} * \sqrt{3} =6.](https://tex.z-dn.net/?f=R%3D+%5Cfrac%7Bc%7D%7B+%5Csqrt%7B3%7D+%7D+%3B+%5C%5C+%0Ac%3DR%2A+%5Csqrt%7B3%7D+%3D2+%5Csqrt%7B3%7D+%2A+%5Csqrt%7B3%7D+%3D6.)
Найдем площадь правильного треугольника:
![S= \frac{ c^{2} \sqrt{3} }{4} = \frac{36 \sqrt{3} }{4} =9 \sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D+%5Cfrac%7B+c%5E%7B2%7D+%5Csqrt%7B3%7D++%7D%7B4%7D+%3D+%5Cfrac%7B36+%5Csqrt%7B3%7D+%7D%7B4%7D+%3D9+%5Csqrt%7B3%7D+)
.
Ответ: ![9 \sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=9+%5Csqrt%7B3%7D+)
см.