Question

Сколькими различными способами садовник может посадить за 7 дней 15 роз, если каждый день он должен сажать хотя бы одну розу?

Answer 1

Представим себе, что все 15 роз лежат в одну линию, и вы раскладываете между ними флажки (например, так: @@@|@@@|@|@|@|@@@|@@@ - розы обозначены @, флажки |), т.е. разделяете флажками розы на 7 непустых групп. Очевидно, задача о количестве способов разложить флажки та же, что и исходная.
Для флажков есть 14 мест, и надо разложить 6 флажков не более 1 флажка в одно место. Это можно сделать $C_{15-1}^{7-1}=C_{14}^6=3003$ способами.