Рассмотрим вариант решения задачи с применением теоремы Пифагора.
Наиболее плотная упаковка шаров в цилиндре при их взаимном касании. Возможны две крайних версии размещения центров шаров: в горизонтальной и вертикальной плоскости. В первом случае (рис. 1) диаметр цилиндра превалирует над его высотой (радиусы шаров минимальны), во втором, притом же диаметре цилиндра, все наоборот (рис. 2, шары максимального размера).
В нашем случае, при равенстве диаметра и высоты цилиндра, шары займут промежуточное симметричное положение (рис. 3). Центры шаров разместятся на поверхности воображаемого цилиндра, как показано на рис. 4, размеры которого меньше на диаметр шара. Если через центры шаров провести вертикальные линии, то получим прямую призму, основания которой равнобедренные треугольники АВС и А₁В₁С₁ (рис. 5).
В соответствии с рисунком: ОВ² = ОD² + DВ²; ВС₁² = СВ² + СС₁²; А₂С₁² = А₁А₂² + А₁С₁². Примем расстояния между центрами шаров ВС₁ = А₂С₁ = 2r, в треугольнике АВС высоту АD = h, СВ = а, высоту воображаемого цилиндра СС₁ = 1.
Тогда имеем систему уравнений:
Когда в цилиндре 2 шара находятся на дне. Допустим Диаметр и Высота равны 1 см (так как по условию D=H), тогда максимальный радиус Шарика будет 1/4 см диаметра . Так как мы размещаем 2 шарика снизу и сверху кладем еще 1 шарик (на те 2). Тогда можно сделать вывод, что Максимальный радиус шарика ровняется 1/4 диаметра цилиндра.
Такое решение задачи вижу, при условии соблюдения таких условий
Пусть R - искомый радиус шаров, H = D - высота и диаметр цилиндра.
Укладка трёх шаров будет наиболее плотной, когда шары попарно касаются друг друга. То есть центры шаров - вершины равностороннего треугольника. Наиболее плотное наклонное положение шаров переходит само в себя, если перевернуть цилиндр. При перевороте остаётся на месте высота равностороннего треугольника, проведённая из центра среднего шара. Эта высота будет высотой равнобедренного треугольника, получающегося проектированием равностороннего треугольника на горизонтальную плоскость. Удвоенный радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника в сумме с удвоенным радиусом шаров равен диаметру цилиндра.
Пусть альфа - угол, который образуют с плоскостями оснований цилиндра прямая, соединяющая центры первого и второго шаров, а также прямая, соединяющая центры второго и третьего шаров. Тогда
Пусть R - искомый радиус шаров, H = D - высота и диаметр цилиндра.
Опустим в цилиндр первый шар так, чтобы он касался боковой поверхности цилиндра. Если радиусы шаров больше 0,25D, то опустив в цилиндр второй шар получим его наиболее низкое положение при условии, что центры шаров и их точки касания с боковой поверхностью цилиндра лежат в диаметральной плоскости цилиндра. В этой же плоскости должны лежать центр и точка касания с боковой поверхностью цилиндра для шара, который будет опущен в цилиндр третьим.
Пусть альфа - угол, который образуют с плоскостями оснований цилиндра прямая, соединяющая центры первого и второго шаров, а также прямая, соединяющая центры второго и третьего шаров. Тогда
Без живого чертежа видимо не разобраться. Передний угол наклона - arccos(12/13), на заднем плане угол больше - arccos(3/5)
Составляем уравнение проекций площадей
x*cos(arccos(12/13))<wbr />-25*arccos(3/5)=33, 12x/13-15=33, 12x/13=48, x=52
Другой случай 25*12/13-3x/5=33 приводит к отрицательному результату
Нам необходимо найти радиус вписанной в тетраэдр сферы, который определяется как отношение утроенного объема тетраэдра к площади полной его поверхности, то есть
Для начала найдем боковые ребра а, b и с.
Согласно условию
{ab/2 = 270;
{bc/2 = 360;
{ас/2 = 600.
Разделив первое уравнение на второе, получим
а = 0,75с.
Подставив данное выражение в третье уравнение, получаем
с = 40, тогда
а = 0,75*40 = 30,
b = 360*2/40 = 18.
Объем пирамиды можно вычислить, умножив треть высоты на площадь основания. Поскольку по условию углы при вершине прямые,
Vпир = 30*360/3 = 18*600/3 = 40*270/3 = 3600.
Используя т. Пифагора, можно легко найти стороны треугольника, являющегося основанием тэтраэдра:
√(18² + 30²) = √1224,
√(18² + 40²) = √1924,
√(40² + 30²) = 50.
Зная стороны треугольника, можно вычислить его площадь по ф. Герона.
где а, b, c - стороны тр-ка, а р - его полупериметр.
И в нашей задаче площадь основания получилась равной 750.
Тогда Sполн = (270 + 360 + 600 + 750) = 1980, а искомый радиус
R = 3*3600/1980 = 60/11 = 5,(45).
Могу посоветовать сайт, которым пользуемся мы, когда ищем ответы по математике. Он называется слово, потом точка, потом домен ws (а не ru).
Там постранично отсканирован решебник, просто и понятно изложено. Вот выдержка именно из него:
Там есть и другие решебники, пригодятся ребенку позже.
Есть еще математикус.ру.
Есть сайт алленг.ру, там можно помимо готовых домашних заданий найти учебники (в том числе и для высшего и средне-профессионального образования), их количество постоянно пополняется.
Можно поискать в книжных магазинах.
