Пусть первоначальная скорость равна х км/ч, а после увеличения скорости - (x+12) км/ч. Время пути из пункта А в пункт В, равно 300/х ч, а из пункта В в пункт А - 300/(x+12) ч. На обратный путь автомобиль затратил на 50 мин меньше, чем на путь от А до В, значит составляем и решим уравнение
50 мин = 50/60 ч = 5/6 ч.
![\dfrac{300}{x}-\dfrac{300}{x+12}=\dfrac{5}{6}~~\bigg|\cdot\dfrac{6x(x+12)}{5}\\ \\ 360(x+12)-360x=x(x+12)\\ \\ x^2+12x=360x+4320-360x\\ \\ x^2+12x-4320=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B300%7D%7Bx%7D-%5Cdfrac%7B300%7D%7Bx%2B12%7D%3D%5Cdfrac%7B5%7D%7B6%7D~~%5Cbigg%7C%5Ccdot%5Cdfrac%7B6x%28x%2B12%29%7D%7B5%7D%5C%5C%20%5C%5C%20360%28x%2B12%29-360x%3Dx%28x%2B12%29%5C%5C%20%5C%5C%20x%5E2%2B12x%3D360x%2B4320-360x%5C%5C%20%5C%5C%20x%5E2%2B12x-4320%3D0)
По теореме Виета
— не удовлетворяет условию.
км/ч - первоначальная скорость автомобиля.
Ответ: 60 км/ч.
2) Найдем дискриминант квадратного уравнения
![D=b^2-4ac=(-2k)^2-4\cdot1\cdot(k-3)=4(k^2-k+3)=4(k-\frac{1}{2})^2+11>0](https://tex.z-dn.net/?f=D%3Db%5E2-4ac%3D%28-2k%29%5E2-4%5Ccdot1%5Ccdot%28k-3%29%3D4%28k%5E2-k%2B3%29%3D4%28k-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%5E2%2B11%3E0)
D>0 для всех действительных k имеет два действительных корня, значит нет такого значения k в котором квадратное уравнение имело бы только один корень.
3) Квадратное уравнение имеет корни(т.к.
), значит можем воспользоваться теоремой Виета.
![x_1+x_2=\dfrac{9}{2}\\ \\ x_1x_2=-6](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%2Bx_2%3D%5Cdfrac%7B9%7D%7B2%7D%5C%5C%20%5C%5C%20x_1x_2%3D-6)
![a)~ x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)=(-6)\cdot\dfrac{9}{2}=-27\\ \\ b)~ \dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}=\dfrac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}-2=\dfrac{\bigg(\dfrac{9}{2}\bigg)^2}{-6}-2=-\dfrac{43}{8}](https://tex.z-dn.net/?f=a%29~%20x_1%5E2x_2%2Bx_1x_2%5E2%3Dx_1x_2%28x_1%2Bx_2%29%3D%28-6%29%5Ccdot%5Cdfrac%7B9%7D%7B2%7D%3D-27%5C%5C%20%5C%5C%20b%29~%20%5Cdfrac%7Bx_2%7D%7Bx_1%7D%2B%5Cdfrac%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%3D%5Cdfrac%7Bx_2%5E2%2Bx_1%5E2%7D%7Bx_1x_2%7D%3D%5Cdfrac%7B%28x_1%2Bx_2%29%5E2%7D%7Bx_1x_2%7D-2%3D%5Cdfrac%7B%5Cbigg%28%5Cdfrac%7B9%7D%7B2%7D%5Cbigg%29%5E2%7D%7B-6%7D-2%3D-%5Cdfrac%7B43%7D%7B8%7D)
![c)~ x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)=\\ \\ \\=\dfrac{9}{2}\cdot\bigg(\bigg(\dfrac{9}{2}\bigg)^2-3\cdot(-6)\bigg)=\dfrac{1377}{8}](https://tex.z-dn.net/?f=c%29~%20x_1%5E3%2Bx_2%5E3%3D%28x_1%2Bx_2%29%28x_1%5E2-x_1x_2%2Bx_2%5E2%29%3D%28x_1%2Bx_2%29%28%28x_1%2Bx_2%29%5E2-3x_1x_2%29%3D%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%3D%5Cdfrac%7B9%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cbigg%28%5Cbigg%28%5Cdfrac%7B9%7D%7B2%7D%5Cbigg%29%5E2-3%5Ccdot%28-6%29%5Cbigg%29%3D%5Cdfrac%7B1377%7D%7B8%7D)