Question

1)Биссектриса тупого угла параллелограмма делит
противоположную сторону в отношении 1:2, считая от вершины острого
угла. Найдите длину меньшей стороны параллелограмма, если его
периметр равен 60

2)В основании пирамиды лежит трапеция, у которой боковые
стороны и меньшее из оснований имеют длину 1. Все остальные ребра
пирамиды имеют длину 2. Найдите объем пирамиды

Answer 1

Чертежи во вложении.

№1. Скорее всего автор совершил описку, и условие читать надо так: "Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 2:1, считая от вершины острого угла."

Пусть ВМ-биссектриса тупого угла, пересекающая сторону АД в точке М, тогда АМ:МД=2:1.

Т.к. ∠1=∠2 (определение биссектрисы угла) и ∠2=∠3 (накрестлежащие при АД||ВС и секущей ВМ), то ∠1=∠3. Тогда ∆АВМ-равнобедренный с основанием ВМ, боковые стороны АМ=АВ.

Пусть МД=х, тогда АМ=АВ=2х, СД=АВ=2х, АД=ВС=3х.

Периметр параллелограмма Р=(АВ+ВД)*2. Получим уравнение:

2(2х+3х)=60

5х=30

х=6

Значит, МД=6.

АВ=2*6=12 - меньшая сторона параллелограмма.

Ответ: 12.

 

№2. Объем пирамиды V=⅓·Sосн·H.

1) Проанализируем основание пирамиды -трапецию АВСД. Т.к. АВ=СД=1, то АВСД-равнобедренная. Проведем высоты ВН и СТ.

Sосн=½·(ВС+АД)·ВН.

ВС=НТ=1, АН+ТД=2-1=1.

Из равенства пямоугольных ∆АВН и ∆СТД следует, что АН=ТД=1/2=0,5.

Таким образом в прямоугольном ∆АВН гипотенуза АВ в 2 раза больше катета АН, значит, ∠АВН=30°, ∠ВАН=60°. Находим высоту ВН=АВ·cos30°=√3/2.

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(1+2)*\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{4}$

2) Определим куда проецируется вершина М пирамиды. Поскольку ребра пирамиды МА=МВ=МС=МД, то их проекции на полскость (АВСД) - это отрезки ОА=ОВ=ОС=ОД. Значит, О-центр описанной окружности.

∠ВАД=60°, отсюда ⌣ВСД=120°.

Равенство хорд АВ, ВС и СД влечет за собой равенство дуг АВ, ВС и СД. Тогда ⌣ВС=⌣СД=120°:2=60°, а значит, и ⌣АВ=60°. Тогда ⌣АВСД=180° и АД-диаметр описанной около трапеции окружности. Тогда О лежит на диаметре АД. ОА=ОВ=ОС=ОД=½АД=1

Найдем высоту пирамиды МО из прямоугольного ∆МОД.

В равностороннем ∆АМД МО- медиана, биссектриса, высота. По теореме Пифагора

$MO=\sqrt{MD^2-OD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$

$V=\frac{1}{3}*\frac{3\sqrt3}{4}*\sqrt3=\frac{3}{4}$

Ответ: 3/4.

Answer 2

1)P=2(a+b) , где а и в стороны параллограмма 

   а=x+2x=3x  следовательно  другая сторона равна x так как равны углы .

   2(x+3x)=60

    4x=30

    x=7.5см  

 

   а если  от острого   

    2(3x+2x)=60

    5x=30 

     x=6

     Ответ  6 см

2) вторую задачу вам решили