Question

Решить систему уравнений x**2-yz=3 y**2-xz=5 z**2-xy=-1

Answer 1

Из 1-го ур-я вычтем 2-ое, из 1-го вычтем 3-е и из 2-го вычтем 3-е:
(x-y)(x+y+z)=-2; (x-z)(x+y+z)=4; (y-z)(x+y+z)=6.
Возведем эти уравнения в квадрат и сложим:
2(x+y+z)²(x²+y²+z²-xy-xz-yz)=4+16+36=56.
Если же сложить исходные уравнения, то получится
x²+y²+z²-xy-xz-yz=7, отсюда (x+y+z)²=4, т.е.
1) x+y+z=2, откуда х-у=-1; x-z=2; y-z=3. Решаем эту систему и подставляем в исходную: х=1; у=2; z=-1.
2) x+y+z=-2, откуда х-у=1; x-z=-2; y-z=-3. Решаем эту систему и подставляем в исходную: х=-1; у=-2; z=1.
Ответ: (1;2;-1) и (-1;-2;1).