1) (a^4-x^5)(a^4+x^5)
2) (0.2b^2-a^6)(0.2b^2+a^6)
3) (1.3y^7-30z^4)(1.3y^7+30z^4)
4) (6a^3b^2-1)(6a^3b^2+1)
5) (7/5m^3n^2-5/4a)(7/5m^3n^2+5/4a)
Х деталей в час делает ученик,
у деталей в час делает учитель.
Тогда 8х=6у.
Вместе они делают за 1 час х+у=7.
Решаем систему методом подстановки.
Из второго уравнения
х=7-у.
Подставляем в первое уравнение. 8(7-у) =6у.
56 - 8у = 6у
14у = 56
у = 4 детали в час делает мастер
Следовательно, заказ составляет:
<span>6·4 = 24 детали</span>
Точки пересечения с осями координат это там, где икс и игрек равны нулю.
Если икс=0, то y=-5+2*0=-5 Точка пересечения (0;-5)
Если игрек=0, то 0=-5+2x отсюда x=2,5 Точка пересечения (2,5;0)
![3\sin x+2\cos x=3](https://tex.z-dn.net/?f=3%5Csin+x%2B2%5Ccos+x%3D3)
Поделим все части на корень из суммы квадратов коэффициентов перед тригонометрическими функциями.
![\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B3%5E2%2B2%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B9%2B4%7D%3D%5Csqrt%7B13%7D)
![\dfrac{3}{\sqrt{13}}\sin x+\dfrac{2}{\sqrt{13}}\cos x=\dfrac{3}{\sqrt{13}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%5Csin+x%2B%5Cdfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%5Ccos+x%3D%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D)
Сделали это для того, чтобы теперь наш корень из суммы квадратов коэффициентов был равен единице. Проверим:
![\sqrt{\left(\dfrac{3}{\sqrt{13}}\right)^2+\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{9+4}{13}}=\sqrt{\dfrac{13}{13}}=\sqrt{1}=1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B%5Cleft%28%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%5Cright%29%5E2%2B%5Cleft%28%5Cdfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%5Cright%29%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B9%2B4%7D%7B13%7D%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B13%7D%7B13%7D%7D%3D%5Csqrt%7B1%7D%3D1)
Так как это верное равенство, значит, числа
и
лежат на единичной окружности. Соответственно, существует такой угол
, что, например,
и
. Отсюда возьмём
.
![\sin\varphi\sin x+\cos\varphi\cos x=\dfrac{3}{\sqrt{13}}\medskip\\\cos\left(x-\varphi\right)=\dfrac{3}{\sqrt{13}}\medskip\\x-\varphi=\pm\arccos\dfrac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\medskip\\x=\varphi\pm\arccos\dfrac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\medskip\\x=\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13}}\pm\arccos\dfrac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csin%5Cvarphi%5Csin+x%2B%5Ccos%5Cvarphi%5Ccos+x%3D%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%5Cmedskip%5C%5C%5Ccos%5Cleft%28x-%5Cvarphi%5Cright%29%3D%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%5Cmedskip%5C%5Cx-%5Cvarphi%3D%5Cpm%5Carccos%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%2B2%5Cpi+n%2C%5C%2Cn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cmedskip%5C%5Cx%3D%5Cvarphi%5Cpm%5Carccos%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%2B2%5Cpi+n%2C%5C%2Cn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cmedskip%5C%5Cx%3D%5Carcsin%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%5Cpm%5Carccos%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%2B2%5Cpi+n%2C%5C%2Cn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D)
Можно наш ответ "разорвать" и привести к более благородному виду:
![\left[\begin{gathered}x=\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13}}+\arccos\dfrac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\\x=\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13}}-\arccos\dfrac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\end{gathered}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bgathered%7Dx%3D%5Carcsin%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%2B%5Carccos%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%2B2%5Cpi+n%2C%5C%2Cn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5C%5Cx%3D%5Carcsin%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D-%5Carccos%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%2B2%5Cpi+n%2C%5C%2Cn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cend%7Bgathered%7D)
![\left[\begin{gathered}x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\\x=2\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13}}-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\end{gathered}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bgathered%7Dx%3D%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2B2%5Cpi+n%2C%5C%2Cn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5C%5Cx%3D2%5Carcsin%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D-%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2B2%5Cpi+n%2C%5C%2Cn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cend%7Bgathered%7D)
Ответ. ![x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\,;~x=2\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13}}-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2B2%5Cpi+n%2C%5C%2Cn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5C%2C%3B~x%3D2%5Carcsin%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D-%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2B2%5Cpi+n%2C%5C%2Cn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D)
1)(2/3)²=4/9
2)-3×4/9=-4/3
3)0,5²=0,5×0,5=0,25=25/100=1/4
4)-4/3-1/4спільний займеник 12
5)-16/12-3/12=-18/12=-3/2