Question

Сумма двух положительных чисел равна 160. Найти эти числа, если сумма их кубов имеет наименьшее значение.

Answer 1

Пусть эти числа х и у
$x + y = 160 \\ y = 160 - x$
сумма их кубов


$S(x) = {x}^{3} + (160 - x) ^{3} = \\ = {x}^{3} + 160 ^{3} - 3 \cdot 160 ^{2} {x} + \\ + 3 \cdot 160 \cdot {x}^{2} - {x}^{3} = \\ = 480 {x}^{2} - 76800x + 4096000$
найдем наименьшее значение S(x)
S(x) парабола, ветви которой направлены вверх, значит приравняв нулю производную S(x) мы найдем х, при котором S(x) примет наименьшее значение.

для этого найдем производную и приравняем её нулю
$S'(x) =480 \cdot 2 \cdot x - 76800 = \\ = 960x - 76800 = 0$
откуда х=76800/960=80

у=160-х=80

Ответ:
эти оба числа равны 80