1. Натуральные числа, которые делятся на 3 без остатка имеют вид 3n, где n ∈ N. Делим 3n на 3 и получаем n без остатка. Чтобы остаток был равен 1, нужно из указанного числа вычесть 2:
3n - 2, где n ∈ N (множеству натуральных чисел)
Для проверки подставляем 1, 2, 3 и т.д. и получаем 1, 4, 7 ...
Ответ: 3n - 2
2.
![x_n = -3n - 4](https://tex.z-dn.net/?f=x_n%20%3D%20-3n%20-%204)
Просто подставляем в формулы соответствующий индекс:
а)
![x_1 = -3*1 - 4 = -7](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%20%3D%20-3%2A1%20-%204%20%3D%20-7)
б)
![x_5 = -3*5 - 4 = -19](https://tex.z-dn.net/?f=x_5%20%3D%20-3%2A5%20-%204%20%3D%20-19)
в)
![x_{12} = -3*12 - 4 = -40](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B12%7D%20%3D%20-3%2A12%20-%204%20%3D%20-40)
г)
![x_{100} = -3*100 - 4 = -304](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B100%7D%20%3D%20-3%2A100%20-%204%20%3D%20-304)
д)
![x_{n+1} = -3*(n+1) - 4 = -3n-3-4 = -3n - 7](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7Bn%2B1%7D%20%3D%20-3%2A%28n%2B1%29%20-%204%20%3D%20-3n-3-4%20%3D%20-3n%20-%207)
3.
![a_n = 7n + 5](https://tex.z-dn.net/?f=a_n%20%3D%207n%20%2B%205)
а) Просто берём и подставляем первые 5 индексов в формулу:
![a_1 = 7*1 + 5 = 12 \\ a_2 = 7*2 + 5 = 19 \\ a_3 = 7*3 + 5 = 26 \\ a_4 = 7*4 + 5 = 33 \\ a_5 = 7*5 + 5 = 40](https://tex.z-dn.net/?f=a_1%20%3D%207%2A1%20%2B%205%20%3D%2012%20%5C%5C%20a_2%20%3D%207%2A2%20%2B%205%20%3D%2019%20%5C%5C%20a_3%20%3D%207%2A3%20%2B%205%20%3D%2026%20%5C%5C%20a_4%20%3D%207%2A4%20%2B%205%20%3D%2033%20%5C%5C%20a_5%20%3D%207%2A5%20%2B%205%20%3D%2040%20)
б) Просто вместо а энного подставляем 33 и решаем получившееся уравнение. Если индекс n будет целым, то число будет принадлежать данной последовательности.
![33 = 7n + 5 \\ 7n = 28 \\ n = 4](https://tex.z-dn.net/?f=33%20%3D%207n%20%2B%205%20%5C%5C%207n%20%3D%2028%20%5C%5C%20n%20%3D%204)
Индекс n число целое, значит, 33 является членом данной последовательности. Что мы и видели, когда делали пункт 3а).
в) Делаем как в предыдущем пункте. Если число 95 не является членом последовательности, то индекс n будет дробный. Тогда округляем по правилам округления, что даст ближайший член.
![95 = 7n + 5 \\ 7n = 90 \\ n = 12 \frac{6}{7} \approx 12,857 \\ \\ n=13 \\ a_{13} = 7*13 + 5 = 96](https://tex.z-dn.net/?f=95%20%3D%207n%20%2B%205%20%5C%5C%207n%20%3D%2090%20%5C%5C%20n%20%3D%2012%20%5Cfrac%7B6%7D%7B7%7D%20%5Capprox%2012%2C857%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20n%3D13%20%5C%5C%20a_%7B13%7D%20%3D%207%2A13%20%2B%205%20%3D%2096)