Это полная цитата из личной переписки от 09.8.2012.23:13
<span>В первой задаче есть красивое и технически очень простое решение. Высота к основанию АН (Н - середина ВС), на которой лежат центры описанной (R = 25) и вписанной (расстояние от А до центра О вписанной окружности d = 20) окружностей, продлевается до пересечения с описанной окружностью в точке К. Вершина В соединяется с К и О. Очень просто увидеть, что треугольник ВОК равнобедренный - угол ВОК = угол АВО + угол ВАО, угол ОВК = угол ОВС + угол СВК, но ВО - биссектриса, угол ОВС = угол ОВА, угол АВК прямой (вписанный угол, опирается на диаметр АК) угол СВК = угол ВАК (стороны углов попарно перпендикулярны). Поэтому угол ОВК = угол ВОК, ВК = КО = 2R - d (очень важно - это верно для любых возможных значений R и d) .</span>
<span>2R - d = 50 - 20 = 30. Ясно, что АВК - "египетский" тр-к со сторонами (30, 40, 50), то есть АВ = ВС = 40, ну, половина основания ВН, высота АН и боковая сторона АВ образуют тр-к подобный АВК, то есть тоже "египетский", и ВН = АВ*3/5 = 24, ВС = 48.</span>
<span>Периметр 2*40+48 = 128.</span>
<span>
</span>
<span>Я не очень понял, зачем публиковать уже решенную задачу. Может, я где ошибся? Может быть, не понятно, что точка пересечения медиатрисс (срединных перпендикуляров) - это центр описанной окружности, и расстояние от вершины до этой точки равно радиусу описанной окружности? Или есть проблема с точкой пересечения биссектрис? </span>
<span>Еще раз повторяю СМЫСЛ решения. Я ДОКАЗАЛ, что для любого равнобедренного треугольника ЕСЛИ через концы основания и центр ВПИСАННОЙ окружности провести окружность (построить по трем точкам), то центр её будет лежать на ОПИСАННОЙ окружности. Причем на другом конце диаметра, одним концом которого является вершина, противолежащая основанию. </span>
<span>Все это я доказал, и это очень просто, и сводит все вычисления к простой арифметике. </span>
