Рассмотрим треугольник САА1: сторону СА1 можно найти как АС*cos(60°)=10*0.5=5, сторону AA1 как AC*sin60°= 5*sqrt(3).
Треугольник ABA1: BA1=sqrt(AB^2+AA1^2) - теорема Пифагора. BA1=sqrt(139-75)=8
Треугольник СВА1: по теореме косинусов косинус угла x равен
![\frac{{a1b}^{2} + {a1c}^{2} - {bc}^{2} }{2 \times a1c \times a1b}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B%7Ba1b%7D%5E%7B2%7D+%2B+%7Ba1c%7D%5E%7B2%7D+-+%7Bbc%7D%5E%7B2%7D+%7D%7B2+%5Ctimes+a1c+%5Ctimes+a1b%7D+)
отсюда cos(x)=40/80=1/2, отсюда угол x= 60°
По формуле Герона находим площадь треугольника. Она равна 84 кв.см. А площадь треугольника АОМ=1/3 площади треугольника АВС. Тогда площадь треугольника АОМ=28 кв.см
В равностороннем треугольнике все углы равны по 60 градусов. Высота является медианой и биссектрисой, следовательно разбивает угол на 2 равные части по 30 градусов. Один из углов (там где высота пересекает основание) будет равен 90 градусов, ну и третий угол 60.
Так как ΔABC - равнобедренный с основанием AC, то AB=BC. Обозначим AB=BC=x.
Тогда
![P_{ABC}](https://tex.z-dn.net/?f=+P_%7BABC%7D+)
=AB+BC+AC=x+x+5=2x+5=32, откуда 2x=32-5, 2x=27, x=13,5.
Ответ. AB=BC=13,5.