Question

АВСД-квадрат. Отрезок ПД перпендикулярен плоскости АВС. Доказать, что ПВ перпендикулярен АС.

Answer 1

PD-перпендикуляр, проведённый из точки P к плоскости (ABC); D-основание перпендикуляра; PB-наклонная; B-основание наклонной.

Значит DB-проекция наклонной на плоскость.

Но DB перпендикулярна AC(т.к. в квадрате диагонали перпендикулярны)

Проведём прямую а параллельную AC через основание наклонной(через В).

По лемме о перпендикулярности прямых(если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой): DB перпендикулярна a

По теореме о трёх перпендикулярах(прямая(a), проведенная в пплоскости через основание наклонной(B) перпендикулярно к ее проекции(DB) на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной(PB)):PB перпендикулярна a.

И опять по лемме о перпендикулярности прямых:a||AC, a перпендикулярна PB, значит AC перпендикулярна PB.

(что неясно-пиши в личку)

Answer 2

AC является диагональю квадрата

ПВ и ДВ составляют ВД - вторую диагональ квадрата

По свойству квадрата: диагонали в нём взаимно перпендикулярны!

Следует что ВД перпендикулярно АС; следует ПВ перпендикулярно АС